Question

【題目】已知為雙曲線的左、右焦點，過作垂直于軸的直線，并在軸上方交雙曲線于點，且.

（1）求雙曲線的方程；

（2）過雙曲線上一點作兩條漸近線的垂線，垂足分別是和，試求的值；

（3）過圓上任意一點作切線交雙曲線于兩個不同點，中點為，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析

【解析】分析：(1) 在直角三角形中，，解得，從而可得雙曲線的方程；（2）確定兩條漸近線方程，設(shè)雙曲線上的點，求出點到兩條漸近線的距離，利用在雙曲線上，及向量的數(shù)量積公式，結(jié)合即可求得結(jié)論；（3）分類討論: ①當(dāng)切線的斜率存在，設(shè)切錢的方程代入雙曲線中，利用韋達(dá)定理、弦長公式以及點到直線距離公式，結(jié)合直線與圓相切，可得成立；②當(dāng)切線的斜率不存在時，求出的坐標(biāo)，即可得到結(jié)論.

詳解：（1）根據(jù)已知條件得，∴焦點坐標(biāo)為，

∵軸，∴

在直角三角形中，，解得，

于是所求雙曲線方程為.

（2）根據(jù)（1）易得兩條雙曲線漸近線方程分別為，，設(shè)點，則，

又在雙曲線上，所以

于是.

（3）①當(dāng)直線的斜率不存在時，則，于是，此時，即命題成立.

②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)的方程為切線與的交點坐標(biāo)為，

于是有消去化成關(guān)于的二次為.

∵為的中點，∴

即坐標(biāo)為

則，

又點到直線的距離為，.代入得：

，，故得證.