Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD；四邊形ABCD是菱形，邊長為2，∠BCD=60°，經(jīng)過AC作與PD平行的平面交PB與點(diǎn)E，ABCD的兩對角線交點(diǎn)為F．
（Ⅰ）求證：AC⊥DE；
（Ⅱ）若，求點(diǎn)D到平面PBC的距離．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先根據(jù)條件得到AC⊥BD結(jié)合PD⊥平面ABCD，推得AC⊥平面PBD進(jìn)而得到結(jié)論；
（Ⅱ）先根據(jù)條件得到EF是△PBD的中位線且得到，再結(jié)合體積相等即可求出結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）證明：連接DE．
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以AC⊥BD．    （2分）
又因?yàn)镻D⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
所以PD⊥AC．                             （4分）
而PD∩BD=F，
所以AC⊥平面PBD．又DE?平面PBD，
所以AC⊥DE．            （6分）
（Ⅱ）連EF．設(shè)點(diǎn)D到平面PBC的距離為h
由題PD∥平面ACF，
平面ACF∩平面PDB=EF
所以PD∥EF                                                               （8分）
點(diǎn)F是BD中點(diǎn)，則EF是△PBD的中位線，

，故
正三角形BCD的面積                                （9分）
由（Ⅰ），知PD⊥平面BCD，V_P-BCD=S_△BCD•PD=××2=2           （10分）
∵V_P-BCD=V_D-BCP=•S_△BCP•h，
∵C=PB=4，         （12分）
所以  •h=2⇒h=                                                  （13分）
故點(diǎn)D到平面PBC的距離為．                                              （14分）
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是線線垂直以及點(diǎn)到面的距離．一般在證明線線垂直時(shí)，常轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，得到線線垂直．