Question

如圖，AO=2，B是半個(gè)單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，△ABC是等邊三角形，求當(dāng)∠AOB等于多少時(shí)，四邊形OACB的面積最大，并求四邊形面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段

專題：推理和證明

分析：S_{四邊形OACB}=S_△AOB+S_△ABC=

1

2

•OA•OB•sinθ+

1

2

•AB•AC•sin60°=2sin（θ-

π

3

）+

5 3

4

，由此能求出四邊形面積的最大值．

解答： 解：S_{四邊形OACB}=S_△AOB+S_△ABC
=

1

2

•OA•OB•sinθ+

1

2

•AB•AC•sin60°
=

1

2

×1×2×sinθ+

3

4

（1+2²-2×1×2×cosθ）
=sinθ-

3

cosθ+

5 3

4

=2sin（θ-

π

3

）+

5 3

4

，
∵0＜θ＜π，∴當(dāng)θ-

π

3

=

π

2

，即θ=

5π

6

時(shí)，
（S_{四邊形OACB}）_max=2+

5 3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查當(dāng)∠AOB等于多少時(shí)，四邊形OACB的面積最大，并求四邊形面積的最大值．解題時(shí)要注意三角形面積公式和三角函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．