Question

已知y=f（x）是偶函數(shù)，而y=f（x+1）是奇函數(shù)，且對任意0≤x≤1，都有f′（x）≥0，則a=f（

16

3

），b=f（

17

3

），c=f（

23

3

）的大小關(guān)系是（　�。�

• A、c＜b＜a
• B、c＜a＜b
• C、a＜c＜b
• D、a＜b＜c

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),導(dǎo)數(shù)的運算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：y=f（x）是偶函數(shù)，而y=f（x+1）是奇函數(shù)可推斷出=f（x）是周期為4的函數(shù)，y=f（x）是偶函數(shù)，對任意0≤x≤1，都有f′（x）≥0，說明f（x）是增函數(shù)，由這些性質(zhì)將三數(shù)化簡為自變量在0≤x≤1的函數(shù)值來表示，再利用單調(diào)性比較大小．

解答： 解：∵y=f（x+1）是奇函數(shù)，
∴f（-x+1）=-f（x+1），且函數(shù)關(guān)于（-1，0）對稱，
∵y=f（x）是偶函數(shù)，
∴f（-x+1）=-f（x+1）=f（x-1），
即-f（x+2）=f（x），
即f（x+4）=f（x），則函數(shù)的周期為4，
∴a=f（

16

3

）=f（

4

3

）=-f（

2

3

），b=f（

17

3

）=f（

5

3

）=-f（

1

3

），c=f（

23

3

）=f（-

1

3

）=f（

1

3

），
又∵對任意0≤x≤1，都有f′（x）≥0，
∴f（x）是增函數(shù)，∴f（x）≥f（0）=0，
∴f（

2

3

）＞f（

1

3

）＞0，
∴f（

1

3

）＞0＞-f（

1

3

）＞-f（

2

3

），
∴c＞b＞a，
故選：D．

點評：本題考查了函數(shù)奇偶性的運用，利用函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的周期性，在本題三數(shù)的大小比較中，利用到了把三數(shù)轉(zhuǎn)化到一個單調(diào)區(qū)間上來比較的技巧．