Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且a_n+1=S_n（n≥1，n∈N^*），數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，其公差d＞0，b₁=1，且b₃、b₇+2、3b₉成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n+b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）先確定{S_n}的通項(xiàng)，再由a_n+1=S_n，得數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式，利用數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，其公差d＞0，b₁=1，且b₃、b₇+2、3b₉成等比數(shù)列，求出數(shù)列{b_n}的公差，可求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）分類(lèi)討論，再分組求和，即可求數(shù)列{a_n+b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（1）由已知有S_n+1-S_n=S_n，即S_n+1=2S_n（n∈N^*），
∴{S_n}是以S₁=a₁=1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴S_n=2^n-1，
∴n≥2時(shí)，a_n=S_n-1=2^n-2，
∵a₁=1，不滿(mǎn)足上式，∴a_n=

1，n=1 2n-2，n≥2

；
∵b₃，b₇+2，3b₉成等比數(shù)列，
∴（b₇+2）²=b₃•3b₉，即（1+6d+2）²=（1+2d）•3（1+8d），
解得d=1或d=-

1

2

（舍），
∴b_n=1+（n-1）×1=n；
（2）n=1時(shí)，T₁=a₁+b₁=2
n≥2時(shí)，T_n=a_n+b_n=（1+1+2+…+2^n-2）+（1+2+…+n）=1+

1-2n-1

1-2

+

n(n+1)

2

=2n-1+

n(n+1)

2

綜上，T_n=2n-1+

n(n+1)

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查數(shù)列遞推式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．