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6.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,△ABC為正三角形,AA1=AB=6,點(diǎn)D為AC的中點(diǎn).
(1)求證:平面BC1D⊥平面ACC1A1;
(2)求三棱錐C-BC1D的體積.

分析 (Ⅰ)推導(dǎo)出AA1⊥BD,BD⊥AC,從而B(niǎo)D⊥平面ACC1A1,由此能證明平面BC1D⊥平面ACC1A1
(Ⅱ)三棱錐C-BC1D的體積{V_{C-B{C_1}D}}={V_{{C_1}-CBD},由此能求出結(jié)果.

解答 證明:(Ⅰ)因?yàn)锳A1⊥底面ABC,所以AA1⊥BD,
因?yàn)榈酌鍭BC正三角形,D是AC的中點(diǎn),所以BD⊥AC,
因?yàn)锳A1∩AC=A,所以BD⊥平面ACC1A1,
因?yàn)槠矫鍮D?平面BC1D,
所以平面BC1D⊥平面ACC1A1
解:(Ⅱ)由(Ⅰ)知△ABC中,BD⊥AC,BD=BCsin60°=3\sqrt{3}
所以{S_{△BCD}}=\frac{1}{2}×3×3\sqrt{3}=\frac{{9\sqrt{3}}}{2}
所以三棱錐C-BC1D的體積.{V_{C-B{C_1}D}}={V_{{C_1}-CBD}}=\frac{1}{3}×\frac{{9\sqrt{3}}}{2}×6=9\sqrt{3}

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明,考查三棱錐的體積的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系的合理運(yùn)用.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1.從甲、乙、丙三個(gè)廠家生產(chǎn)的同一種產(chǎn)品中各抽取8件產(chǎn)品,對(duì)其使用壽命(單位:年)跟蹤調(diào)查結(jié)果
如下:
甲:3,4,5,6,8,8,8,10;
乙:4,6,6,6,8,9,12,13;
丙:3,3,4,7,9,10,11,12.
三個(gè)廠家在廣告中都稱該產(chǎn)品的使用壽命是8年,請(qǐng)根據(jù)結(jié)果判斷廠家在廣告中分別運(yùn)用了平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)中的哪一種集中趨勢(shì)的特征數(shù):甲眾數(shù),乙平均數(shù),丙中位數(shù).

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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