Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù)（,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

（Ⅰ）若函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn),求的取值范圍

（Ⅱ）若存在實(shí)數(shù),使對(duì)任意的,不等式恒成立,求正整數(shù)的最大值

Answer 1

（Ⅰ）

（Ⅱ）

【解析】

試題分析：對(duì)于第一問(wèn)，將關(guān)于函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)等于零的方程的根的個(gè)數(shù)，對(duì)于指數(shù)冪是大于零的，最后轉(zhuǎn)化成一個(gè)三次方程有三個(gè)根的問(wèn)題，剩下的由三次函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)的符號(hào)來(lái)決定，對(duì)于第二問(wèn)，存在和任意要分清，最值的方向要取對(duì)，最后轉(zhuǎn)化成不等式恒成立問(wèn)題，又轉(zhuǎn)化成最值問(wèn)題，注意是正整數(shù).

試題解析：（Ⅰ）

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015061106005460266782/SYS201506110601006654626317_DA/SYS201506110601006654626317_DA.005.png">有個(gè)極值點(diǎn)，所以方程有個(gè)實(shí)根，

令，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以只要滿足，所以， 4分

（Ⅱ）不等式 ,即,即.

轉(zhuǎn)化為存在實(shí)數(shù),使對(duì)任意的,

不等式恒成立.

即不等式在上恒成立.

即不等式在上恒成立

設(shè),則.

設(shè),則,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015061106005460266782/SYS201506110601006654626317_DA/SYS201506110601006654626317_DA.027.png">,有.

故在區(qū)間上是減函數(shù)

又

故存在,使得.

當(dāng)時(shí),有,當(dāng)時(shí),有.

從而在區(qū)間上遞增,在區(qū)間上遞減

又

所以當(dāng)時(shí),恒有;當(dāng)時(shí),恒有;

故使命題成立的正整數(shù)的最大值為5

考點(diǎn)：函數(shù)的極值點(diǎn)，函數(shù)的圖像走向，恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化.