(2008•深圳二模)已知首項(xiàng)為1的數(shù)列{an}滿足:對(duì)任意正整數(shù)n,都有:a12
a1
-1
+a22
a2
-1
+a32
a3
-1
+…+an2
an
-1
=(n2-2n+3)•2n+c
,其中c是常數(shù).
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)c的值;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)設(shè)數(shù)列{
an
(-
1
2
)
an
-1
}
的前n項(xiàng)和為Sn,求證:S2n-1>S2m,其中m,n∈N*
分析:(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),1×20=2×2+c,解得c=-3.
(Ⅱ)由a12
a1
-1
+a22
a2
-1
+a32
a3
-1
+…+an2
an
-1
=(n2-2n+3)•2n+c
an2
a n
-1
=n22n-1
,由此能求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(Ⅲ)由an=n2,知數(shù)列{
an
(-
1
2
)
an
-1
}
={n•(-
1
2
)
n-1
}.由錯(cuò)位相減法求得S2n-1=
4
9
[1-(-
1
2
)
2n-1
]
4
9
.S2m=
4
9
[1-(-
1
2
)
2m
]
4
9
.所以S2n-1>S2m,其中m,n∈N*
解答:解:(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),1×20=2×2+c,
解得c=-3.
(Ⅱ)∵a12
a1
-1
+a22
a2
-1
+a32
a3
-1
+…+an2
an
-1
=(n2-2n+3)•2n+c
,①
a12
a1
-1
+a22
a2
-1
+a32
a3
-1
+…+an-12
an-1
-1
=[(n-1)2-2(n-1)+3]•2n-1+c,②
①-②,并整理,得an2
a n
-1
=n22n-1
,
∴an=n2
(Ⅲ)∵an=n2,
∴數(shù)列{
an
(-
1
2
)
an
-1
}
={n•(-
1
2
)
n-1
}.
∴S2n-1=1+2(-
1
2
)
 
+3(-
1
2
)
2
+…+(2n-1)•(-
1
2
)
2n-2
,
-
1
2
S2n-1=1(-
1
2
)
 
+2(-
1
2
)
2
+…+(2n-2)•(-
1
2
)
2n-2
+(2n-1)•(-
1
2
)
2n-1
,
3
2
S2n-1=1+(-
1
2
)
 
+(-
1
2
)
2
+…+(-
1
2
)
2n-2
-(2n-1)•(-
1
2
)
2n-1
,
=
1×[1-(-
1
2
)
2n-1
]
1-(-
1
2
)
=
2
3
[1-(-
1
2
)
2n-1
]

S2n-1=
4
9
[1-(-
1
2
)
2n-1
]
4
9

同理,S2m=
4
9
[1-(-
1
2
)
2m
]
4
9

∴S2n-1>S2m,其中m,n∈N*
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列和不等式的綜合運(yùn)用,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意特殊值和錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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π
4
cosB=
10
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(1)求cosC;
(2)設(shè)BC=
5
,求
CA
CB
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(4n+6)an+4n+10
2n+1
(n∈N*)

(Ⅰ)試判斷數(shù)列{
an+2
2n+1
}
是否為等比數(shù)列?若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由;若是,試求出通項(xiàng)an
(Ⅱ)如果a=1時(shí),數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.試求出Sn,并證明
1
S3
+
1
S4
+…+
1
Sn
1
10
(n≥3).

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(2008•深圳二模)如圖所示的算法中,令a=tanθ,b=sinθ,c=cosθ,若在集合{θ| -
π
4
<θ<
4
,  θ≠0,  θ≠
π
4
, θ≠
π
2
}
中,給θ取一個(gè)值,輸出的結(jié)果是sinθ,則θ值所在范圍是( 。

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同步練習(xí)冊(cè)答案