Question

下列命題中：
①

a

•（

b

-

c

）=

a

•

b

-

a

•

c

；
②

a

•（

b

•

c

）=（

a

•

b

）•

c

；
③（

a

-

b

）²=|

a

|²-2|

a

|•|

b

|+|

b

|²；
④若

a

•

b

=0，則

a

=0或

b

=0；
⑤若

a

•

b

=

c

•

b

，則

a

=

c

；
⑥|

a

|²=

a

²；
⑦

a • b

a 2

=

b

a

；
⑧（

a

•

b

）²=

a

²•

b

²；
⑨（

a

-

b

）²=

a

²-2

a

•

b

+

b

²．
其中正確的是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義與運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)每一個(gè)命題進(jìn)行分析與判定，即可得出正確的結(jié)論．

解答： 解：對(duì)于①，根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律，得分配律成立，∴命題正確；
對(duì)于②，根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律，得結(jié)合律不成立，∴命題錯(cuò)誤；
對(duì)于③，（

a

-

b

）²=|

a

|²-2|

a

|•|

b

|cos＜

a

，

b

＞+|

b

|²，∴命題錯(cuò)誤；
對(duì)于④，當(dāng)

a

•

b

=0時(shí)，

a

=

0

，或

b

=

0

，或

a

⊥

b

，∴命題錯(cuò)誤；
對(duì)于⑤，當(dāng)

a

•

b

=

c

•

b

時(shí)，（

a

-

c

）•

b

=0，∴

a

-

c

=

0

，或

b

=

0

，或（

a

-

c

）⊥

b

，∴命題錯(cuò)誤；
對(duì)于⑥，|

a

|²=|

a

|×|

a

|=|

a

|×|

a

|×cos0°=

a

²，∴命題正確；
對(duì)于⑦，

a • b

a 2

=

| a |×| b |cos＜ a ， b ＞

| a |×| a |

=

| b |cos＜ a ， b ＞

| a |

≠

b

a

，∴命題錯(cuò)誤；
對(duì)于⑧，（

a

•

b

）²=|

a

|2×|

b

|2×cos²＜

a

，

b

＞≠|

a

|2×|

b

|2=

a

²•

b

²，∴命題錯(cuò)誤；
對(duì)于⑨，（

a

-

b

）²=（

a

-

b

）•（

a

-

b

）=

a

²-2

a

•

b

+

b

²，∴命題正確．
綜上，正確的命題是①⑥⑨．
故答案為：①⑥⑨．

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)命題真假的判定，綜合考查了平面向量數(shù)量積的定義與運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用問(wèn)題．