Question

10．已知直角梯形ABEF，∠A=∠B=90°，AB=1，BE=2，AF=3，C為BE的中點，AD=1，如圖（1），沿直線CD折成直二面角，連結(jié)部分線段后圍成一個空間幾何體（如圖2）
（1）求異面直線BD與EF所成角的大�。�
（2）求過A、B、C、D、E這五個點的球的表面積．

Answer 1

分析 （1）以點D為坐標(biāo)原點，分別以DA，DC，DF所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線BD與EF所成角的大�。�
（2）連結(jié)AE，取中點為G，連結(jié)GA，GB，GC，GD，GE，得到DG長為所求球的半徑，由此能求出過A、B、C、D、E這五個點的球的表面積．

解答 解：（1）以點D為坐標(biāo)原點，分別以DA，DC，DF所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），E（0，1，1），F(xiàn)（0，0，2）
$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），$\overrightarrow{EF}$=（0，-1，1），
設(shè)異面直線BD與EF所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{EF}|}{|\overrightarrow{DB}|•|\overrightarrow{EF}|}$=$\frac{1}{2}$，
∴$θ=\frac{π}{3}$，
∴異面直線BD與EF所成角的大小為$\frac{π}{3}$．
（2）連結(jié)AE，取中點為G，連結(jié)GA，GB，GC，GD，GE，
由已知得GA=GB=GC=GD=GE，
所以DG長為所求球的半徑，
G（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{DG}$=（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），
∴r=|$\overrightarrow{DG}$|=$\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴過A、B、C、D、E這五個點的球的表面積：
S=$4π{r}^{2}=4π×（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}$=3π．

點評 本題考查異面直線所成角的大小的求法，考查球的表面積的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．