已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，外接圓半徑是1，且滿足條件2（sin2A-sin2C）=（sinA-sinB）b，則△ABC的面積的最大值為（　�。�
分析：由正弦定理結(jié)合R=1，化簡已知等式得到a2+b2-c2=ab，利用余弦定理算出cosC=
1
2
，從而可得C=60°．再利用基本不等式求出ab≤3，用正弦定理的面積公式即可算出△ABC的面積的最大值．
解答：解：由正弦定理，可得b=2RsinB=2sinB，
代入已知等式得 2sin2A-2sin2C=2sinAsinB-2sin2B，
即sin2A+sin2B-sin2C=sinAsinB，
∴a2+b2-c2=ab，
由此可得cosC=
a2+b2-c2
2ab
=
1
2
，
結(jié)合C∈（0°，180°），得C=60°．
∵ab=a2+b2-c2=a2+b2-（2RsinC）2=a2+b2-3≥2ab-3，
∴ab≤3 （當且僅當a=b時，取等號），
∵△ABC面積為S=
1
2
absinC≤
1
2
×3×
3
2
=
3
3
4
，
∴當且僅當a=b=
3
時，△ABC的面積的最大值為
3
3
4

故選：C
點評：本題給出三角形的邊角關(guān)系，求三角形面積的最大值，著重考查了正余弦定理、三角形的面積公式和基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，AH為BC邊上的高，以下結(jié)論：①
AH
•(
AC
-
AB
)=0；
②
AB
•
BC
＜0⇒△ABC為鈍角三角形；
③
AC
•
AH
|
AH
|
=csinB；
④
BC
•(
AC
-
AB
)=a2，其中正確的個數(shù)是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且滿足b+c=
3
a，設(shè)
m
=[cos（
π
2
+A），-1]，
n
=（cosA-
5
4
，-sinA），
m
∥
n
，試求角B的大小．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．
（1）證明：
a+b
2a+b
＞
c
a+c
；
（2）證明：不論x取何值總有b2x2+（b2+c2-a2）x+c2＞0；
（3）若a＞c≥2，證明：
1
a+c+1
-
1
(c+1)(a+1)
＜
1
6
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC中，角A、B、C所對的邊長分別為a，b，c且角A，B、C成等差數(shù)列，△ABC的面積S=
b2-(a-c)2k
，則實數(shù)k的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=
2
，向量
m
=(-1，1)，
n
=(cosBcosC，sinBsinC-
2
2
)，且
m
⊥
n
．
（Ⅰ）求A的大�。�
（Ⅱ）當sinB+cos(
7π
12
-C)取得最大值時，求角B的大小和△ABC的面積．

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