Question

（2013•普陀區(qū)二模）若a∈R，則“關于x的方程x²+ax+1=0無實根”是“z=（2a-1）+（a-1）i（其中i表示虛數(shù)單位）在復平面上對應的點位于第四象限”的（　�。�

A．充分非必要條件．

B．必要非充分條件．

C．充要條件．

D．既非充分又非必要條件．

Answer 1

分析：一方面由a∈R，且“關于x的方程x²+ax+1=0無實根”，得到△=a²-4＜0，解得a的取值范圍，即可判斷出“z=（2a-1）+（a-1）i（其中i表示虛數(shù)單位）在復平面上對應的點是否位于第四象限”；
另一方面，由“a∈R，z=（2a-1）+（a-1）i（其中i表示虛數(shù)單位）在復平面上對應的點位于第四象限”，可得

2a-1＞0 a-1＜-0

，解出a的取值范圍，即可判斷出△＜0是否成立即可．

解答：解：①∵a∈R，且“關于x的方程x²+ax+1=0無實根”，
∴△=a²-4＜0，解得-2＜a＜2．
∴-3＜2a-1＜3，-3＜a-1＜1，
因此z=（2a-1）+（a-1）i（其中i表示虛數(shù)單位）在復平面上對應的點不一定位于第四象限；
②若“a∈R，z=（2a-1）+（a-1）i（其中i表示虛數(shù)單位）在復平面上對應的點位于第四象限”正確，
則

2a-1＞0 a-1＜0

，解得

1

2

＜a＜1．
∴△＜0，
∴關于x的方程x²+ax+1=0無實根正確．
綜上①②可知：若a∈R，則“關于x的方程x²+ax+1=0無實根”是“z=（2a-1）+（a-1）i（其中i表示虛數(shù)單位）在復平面上對應的點位于第四象限”的必要非充分條件．
故選B．

點評：熟練掌握實系數(shù)一元二次方程的是否有實數(shù)根與判別式△的關系、復數(shù)z位于第四象限的充要條件事件他的關鍵．