Question

如圖所示，拋物線(xiàn)y=4-x²與直線(xiàn)y=3x的兩交點(diǎn)為A、B，點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上從A向B運(yùn)動(dòng).

（1）求使△PAB的面積最大的P點(diǎn)的坐標(biāo)(a,b);
(2)證明由拋物線(xiàn)與線(xiàn)段AB圍成的圖形，被直線(xiàn)x=a分為面積相等的兩部分.

Answer 1

（1）P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-,）時(shí)，△PAB的面積最大（2）證明見(jiàn)解析

（1） 解方程組，得x₁=1,x₂=-4.
∴拋物線(xiàn)y=4-x²與直線(xiàn)y=3x的交點(diǎn)為
A（1，3），B（-4，-12），
∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)a∈(-4,1).
點(diǎn)P（a,b)到直線(xiàn)y=3x的距離為d=,
∵P點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，∴b=4-a²，
=·(4-3a-a²)′= (-2a-3)=0,
∴a=-，即當(dāng)a=-時(shí)，d最大，
這時(shí)b=4-=,
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-,）時(shí)，△PAB的面積最大.
（2） 設(shè)上述拋物線(xiàn)與直線(xiàn)所圍成圖形的面積為S,
位于x=-右側(cè)的面積為S₁.
S=（4-x²-3x)dx=,
S₁=（4-x²-3x)dx=,
∴S=2S₁,即直線(xiàn)x=-平分拋物線(xiàn)與線(xiàn)段AB圍成的圖形的面積.