已知函數(shù)f(x)=
mx2+2
3x+n
是奇函數(shù)，且f(2)=
5
3
．
（Ⅰ）求實數(shù)m和n的值；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）在（-∞，-1]上的單調(diào)性，并加以證明．
分析：（I）由函數(shù)是奇函數(shù)的，∴f（-x）=-f（x）恒成立，再用待定系數(shù)法求得m，n或找到m，n的關(guān)系，然全結(jié)合f(2)=
5
3
求解．
（II）用單調(diào)性定義證明，先在給定區(qū)間上任取兩個變量，且界其大小，再作差變形看符號．當自變量變化與函數(shù)值變化一致時，為增函數(shù)，當自變量變化與函數(shù)值變化相反時，為減函數(shù)．
解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)f(x)=
mx2+2
3x+n
是奇函數(shù)
∴f（-x）=-f（x）
∴
mx2+2
-3x+n
=-
mx2+2
3x+n
=
mx2+2
-3x-n

∴n=0
∵f(2)=
5
3
．
∴
4m+2
6
=
5
3

∴m=2
（II）函數(shù)f（x）在（-∞，-1]上是增函數(shù)
證明：任取x1 ＜x2＜-1，f(x1) -f(x2) =
2
3
(x1+
1
x1
)-
2
3
(x2+
1
x2
)=
2
3
(x1-x2) (x1x2-1)  
x1x2
∵x1＜x2＜-1，∴x1-x2＜0，x1x2-1＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0
∴f（x1）＜f（x2）
∴函數(shù)f（x）在（-∞，-1]上是增函數(shù)
點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性解題，一般情況下，已知奇偶性時，用待定系數(shù)法求解問題；同時還考查了用單調(diào)性定義證明函數(shù)的單調(diào)性，要注意變形要到位．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=m-
22x+1
是R上的奇函數(shù)，
（1）求m的值；
（2）先判斷f（x）的單調(diào)性，再證明之．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•湘潭三模）已知函數(shù)f(x)=(m+
1
m
)lnx+
1
x
-x，（其中常數(shù)m＞0）
（1）當m=2時，求f（x）的極大值；
（2）試討論f（x）在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性；
（3）當m∈[3，+∞）時，曲線y=f（x）上總存在相異兩點P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2）），使得曲線y=f（x）在點P、Q處的切線互相平行，求x1+x2的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=m-
1
1+ax
(a＞0且a≠1，m∈R)是奇函數(shù)．
（1）求m的值．
（2）當a=2時，解不等式0＜f(x2-x-2)＜
1
6
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
m•3x-1
3x+1
是定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)m的值；
（2）若x滿足不等式4x+
1
2
-5•2x+1+8≤0，求此時f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=m(sinx+cosx)4+
1
2
cos4x在x∈[0，
π
2
]時有最大值為
7
2
，則實數(shù)m的值為
 
．

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