Question

【題目】田忌和齊王賽馬是歷史上有名的故事，設(shè)齊王的三匹馬分別為，田忌的三匹馬分別為 .三匹馬各比賽一次，勝兩場(chǎng)者為獲勝.若這六匹馬比賽的優(yōu)劣程度可以用以下不等式表示： .

（1）如果雙方均不知道對(duì)方馬的出場(chǎng)順序，求田忌獲勝的概率；

（2）為了得到更大的獲勝概率，田忌預(yù)先派出探子到齊王處打探實(shí)情，得知齊王第一場(chǎng)必出上等馬，那么，田忌應(yīng)怎樣安排出馬的順序，才能使自己獲勝的概率最大？最大概率是多少？

Answer 1

【答案】(1) （2）田忌按或的順序出馬，才能使自己獲勝的概率達(dá)到最大

【解析】試題分析：（1）齊王與田忌賽馬，有六種情況，田忌獲勝的只有一種，故田忌獲勝的槪率為.（2）因齊王第一場(chǎng)必出上等馬，若田忌第一場(chǎng)必出上等馬或中等馬，則剩下二場(chǎng)，田忌至少輸一場(chǎng)，這時(shí)田忌必?cái)?為了使自己獲勝的概率最大，田忌第一場(chǎng)應(yīng)出下等馬，在余下的兩場(chǎng)比賽中，田忌獲勝的概率為（余下兩場(chǎng)是齊王的中馬對(duì)田忌上馬和齊王的下馬對(duì)田忌的上馬；齊王的中馬對(duì)田忌下馬和齊王的下馬對(duì)田忌的中馬，前者田忌贏，后者田忌輸）

解析：記與比賽為，其它同理.

（1）齊王與田忌賽馬，有如下六種情況：

； ；

； ；

； ；

其中田忌獲勝的只有一種： .故田忌獲勝的槪率為.

（2）已知齊王第一場(chǎng)必出上等馬，若田忌第一場(chǎng)必出上等馬或中等馬，則剩下二場(chǎng)，田忌至少輸一場(chǎng)，這時(shí)田忌必?cái)?為了使自己獲勝的概率最大，田忌第一場(chǎng)應(yīng)出下等馬，后兩場(chǎng)有兩種情形：

①若齊王第二場(chǎng)派出中等馬，可能的對(duì)陣為： 或.田忌獲勝的概率為，

②若齊王第二場(chǎng)派出下等馬，可能的對(duì)陣為： 或.田忌獲勝的概率也為.

所以，田忌按或的順序出馬，才能使自己獲勝的概率達(dá)到最大.