Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1，
（1）F₁，F(xiàn)₂是左右兩焦點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)與x軸垂直的直線與雙曲線交于點(diǎn)M(

2

，1)，求雙曲線方程．
（2）若y=kx+1與（1）中雙曲線左支交于A，B，有一直線l過(guò)AB中點(diǎn)和L（-2，0），求l在y軸上截距取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由過(guò)右焦點(diǎn)與x軸垂直的直線與雙曲線交于點(diǎn)M(

2

，1)，知c=

2

，設(shè)所求的雙曲線為

x2

a2

-

y2

2-a2

=1，把點(diǎn)M(

2

，1)代入，得a²=1，由此能求出雙曲線方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)（x₀，y₀），（1-k²）x²-2kx-2=0，x0=

k

1-k2

，y0=

1

1-k2

，由x₁+x₂＜0，x₁•x₂＞0，能夠?qū)С鰈在y軸上截距取值范圍．

解答：（1）∵過(guò)右焦點(diǎn)與x軸垂直的直線與雙曲線交于點(diǎn)M(

2

，1)，
∴c=

2

，
設(shè)所求的雙曲線為

x2

a2

-

y2

2-a2

=1，
把點(diǎn)M(

2

，1)代入，得a²=1，
∴雙曲線方程x²-y²=1．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）AB中點(diǎn)（x₀，y₀）
(2)

x2-y2=1 y=kx+1

，（1-k²）x²-2kx-2=0，
x0=

k

1-k2

，y0=

1

1-k2

，
∵x₁+x₂＜0，x₁•x₂＞0，
△＞0，k∈(1，

2

)，l，y=

1 1-k2

k 1-k2

(x+2)(2′)（2′）
l，y=

1

k+2-2k2

(x+2)，x=0，y=

2

k+2-2k2

=

2

-2(k- 1 4 )2+ 17 8

，
∵k∈(1，

2

)，∴y∈(-∞，-2-

2

)∪(2，+∞)（5′）

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線方程的求法和l在y軸上截距取值范圍．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．