Question

一袋中有m（m∈N^*）個(gè)紅球，3個(gè)黑球和2個(gè)白球，現(xiàn)從中任取2個(gè)球．
（1）當(dāng)m=4時(shí)，求取出的2個(gè)球顏色相同的概率；
（2）當(dāng)m=3時(shí)，設(shè)ξ表示取出的2個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)，求ξ的概率分布及數(shù)學(xué)期望；
（3）如果取出的2個(gè)球顏色不相同的概率小于

2

3

，求m的最小值．

Answer 1

分析：（1）本題是一個(gè)等可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從9個(gè)球中任取2個(gè)，共有C₉²種結(jié)果，滿足條件的事件是取出的2個(gè)球的顏色相同，包括三種情況，即兩個(gè)紅球，兩個(gè)黑球，兩個(gè)白球，把三種情況的結(jié)果數(shù)相加得到滿足條件的結(jié)果數(shù)，得到概率．
（2）由題意知黑球的個(gè)數(shù)可能是0，1，2，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件和等可能事件的概率公式利用同上一問類似的方法，寫出三個(gè)變量對(duì)應(yīng)的概率，寫出分布列和期望值．
（3）本題是一個(gè)等可能事件的概率，事件發(fā)生所包含的事件數(shù)C_x+5²，滿足條件的事件是C_x¹C₃¹+C_x¹C₂¹+C₃¹C₂¹，寫出概率，根據(jù)所給的條件即概率小于

2

3

，得到關(guān)于未知數(shù)的不等式，整理解不等式得到結(jié)果．

解答：解：（1）由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率，
∵試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從9個(gè)球中任取2個(gè)，共有C₉²=36種結(jié)果，
滿足條件的事件是取出的2個(gè)球的顏色相同，包括三種情況，共有C₄²+C₃²+C₂²
=10
設(shè)“取出的2個(gè)球顏色相同”為事件A，
∴P（A）=

10

36

=

5

18

．
（2）由題意知黑球的個(gè)數(shù)可能是0，1，2
P（ξ=0）=

C 2 5

C 2 8

=

10

28

=

5

14

P（ξ=1）=

15

28

，P（ξ=2）=

3

28

∴ξ的分布列是
∴Eξ=0×

5

14

+1×

15

28

+2×

3

28

=

3

4

．
（3）由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率，
事件發(fā)生所包含的事件數(shù)C_x+5²，
滿足條件的事件是C_x¹C₃¹+C_x¹C₂¹+C₃¹C₂¹，
設(shè)“取出的2個(gè)球中顏色不相同”為事件B，則
P（B）=

C 1 x C 1 3 +C 1 x C 1 2 +C 1 3 C 1 2

C 2 x+5

＜

2

3

，
∴x²-6x+2＞0，
∴x＞3+

7

或x＜3-

7

，
x的最小值為6．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查組合數(shù)的運(yùn)算，本題包含的組合數(shù)的運(yùn)算比較繁瑣，注意認(rèn)真書寫．