Question

若函數(shù)f（x）在（0，+∞）上恒有xf′（x）＞f（x）成立（其中f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)），則稱這類函數(shù)為A類函數(shù)．
（1）若函數(shù)g（x）=x²-1，試判斷g（x）是否為A類函數(shù)；
（2）若函數(shù)h（x）=ax-3-lnx-

1-a

x

是A類函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）是A類函數(shù)，當(dāng)x₁＞0，x₂＞0時(shí)，證明f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁）+f（x₂）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由A類函數(shù)的定義只證xg'（x）＞g（x）即可，通過(guò)作差可證；
（2）由題意可得xh'（x）＞h（x）恒成立，分離參數(shù)a后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值即可，利用導(dǎo)數(shù)可求最值；
（3）令F（x）=

f(x)

x

，由條件可證F（x）遞增，由單調(diào)性可得F（x₁+x₂）＞F（x₁），F(xiàn)（x₁+x₂）＞F（x₂），分別表示出f（x₁），f（x₂），相加可得結(jié)論；

解答： （1）解：∵g'（x）=2x，
∴xg'（x）-g（x）=2x²-（x²-1）=x²+1＞0在（0，+∞）上恒成立，即xg'（x）＞g（x）在（0，+∞）上恒成立，
∴g（x）=x²-1是A型函數(shù)．
（2）解：h′（x）=a-

1

x

+

1-a

x2

（x＞0），
由xh'（x）＞h（x），
得ax-1+

1-a

x

＞ax-3-lnx-

1-a

x

，
∵x＞0，∴可化為2（a-1）＜2x+xlnx，
令p（x）=2x+xlnx，p'（x）=3+lnx，
令p'（x）=0，得x=e^-3，
當(dāng)x∈（0，e^-3）時(shí)，p'（x）＜0，p（x）是減函數(shù)；
當(dāng)x∈（e^-3，+∞）時(shí)，p'（x）＞0，p（x）是增函數(shù)，
∴p（x）min=p（e^-3）=-e^-3，
∴2（a-1）＜-e^-3，a＜1-

1

2

e^-3．
（3）證明：函數(shù)f（x）是（0，+∞）上的每一點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，且xf'（x）＞f（x）在（0，+∞）上恒成立，
設(shè)F（x）=

f(x)

x

，F(xiàn)′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

＞0在（0，+∞）時(shí)恒成立，
∴函數(shù)F（x）=

f(x)

x

在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∵x₁＞0，x₂＞0，∴x₁+x₂＞x₁＞0，x₁+x₂＞x₂＞0，
∴F（x₁+x₂）＞F（x₁），F(xiàn)（x₁+x₂）＞F（x₂），即

f(x1+x2)

x1+x2

＞

f(x1)

x1

，

f(x1+x2)

x1+x2

＞

f(x2)

x2

，
∴f（x₁）＜

x1f(x1+x2)

x1+x2

，f（x₂）＜

x2f(x1+x2)

x1+x2

，
兩式相加，得f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）．

點(diǎn)評(píng)：該題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，考查恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生的閱讀理解能力及分析解決問(wèn)題的能力．