Question

（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分.
已知的三個(gè)頂點(diǎn)在拋物線:上運(yùn)動(dòng)，
（1）. 求的焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）. 若點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)， 且，點(diǎn)在上，且 ，
求點(diǎn)的軌跡方程；
（3）. 試研究: 是否存在一條邊所在直線的斜率為的正三角形，若存在，求出這個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)，若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

(1) 【解】. 由得所以,焦點(diǎn)坐標(biāo)為　　　　　　　　……3分
(2) 【解1】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,邊所在的方程為(顯然存在的),與拋物線交于                 
則得,                   ……5分
又點(diǎn)在拋物線上,故有,
  或(舍)
 -------①                                           ……7分
又的斜率為,則有  ,既代入①
故點(diǎn)軌跡為  (注:沒寫扣1分)       ……9分
另解:由上式①過定點(diǎn),,
所以, , 既
【解2】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,方程為,由得方程為
,則得, 同理可得
方程為恒過定點(diǎn),
 ,
所以, , 既
(注:沒寫扣1分)
（其他解法,可根據(jù)【解1】的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分）
(3) 【解1】
若存在邊所在直線的斜率為的正三角形,設(shè),
(其中不妨設(shè)), 則 ,    ------① ……11分
令,則,即
將①代入得,,                                
   -----------------②                         ……13分
線段的中點(diǎn)為,由①, ②得的橫坐標(biāo)為,
的縱坐標(biāo)為                 ……15分
又設(shè)由得
 點(diǎn)在拋物線上,則,即,
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823200352955399.png" style="vertical-align:middle;" /> ,                                          ……18分
設(shè),
的三邊所在直線的斜率分別是
   ------①    ……12分
若邊所在直線的斜率為,邊所在直線和軸的正方向所成角為
,則,
所以                                         ……14分
即-----②    
又--------------③                            ……16分
所以,
將②, ③代入上式得邊長(zhǎng)                                      ……18分
（其他解法,可根據(jù)【解1】的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分）

略