若數(shù)列{an}的前n項和Sn是(1+x)n二項展開式中各項系數(shù)的和(n=1,2,3,…).
(Ⅰ)求{an}的通項公式;
(Ⅱ)若數(shù)列{bn}滿足b1=-1,bn+1=bn+(2n-1),且cn=
anbnn
,求數(shù)列{cn}的通項及其前n項和Tn
分析:(Ⅰ)由題意Sn=2n,由項與前n項和的關系an=
s1        n=1
sn-sn-1  n≥2
得{an}的通項公式;
(Ⅱ)由bn+1=bn+(2n-1)得bn+1-bn=2n-1,令n=1、2、3、…n-1得n-1個式子,以上各式相加得bn-b1=1+3+5+…+(2n-3),可求bn=n2-2n,進而求cn,由錯位相減法得數(shù)列{cn}的通項及其前n項和Tn
解答:解:(Ⅰ)由題意Sn=2n,Sn-1=2n-1(n≥2),
兩式相減得an=2n-2n-1=2n-1(n≥2).
當n=1時,a1=S1=2,
∴an=
2       n=1
2n-1   n≥2

(Ⅱ)∵bn+1=bn+(2n-1),
∴bn-bn-1=2n-3
bn-1-bn-2=2n-5

b4-b3=5
b3-b2=3
b2-b1=1,
以上各式相加得bn-b1=1+3+5+…+(2n-3)
=
(n-1)(1+2n+3)
2
=(n-1)2
∵b1=-1,∴bn=n2-2n.
cn=
-2,n=1
(n-2)×2n-1,n≥2

∴Tn=-2+0×21+1×22+2×23+…+(n-2)×2n-1,
∴2Tn=-4+0×22+1×23+2×24+…+(n-2)×2n
∴-Tn=2+22+23+…+2n-1-(n-2)×2n
=
2(1-2n-1)
1-2
-(n-2)×2n

=2n-2-(n-2)×2n=-2-(n-3)×2n
∴Tn=2+(n-3)×2n
點評:應用項與前n項和之間的關系時,注意n=1的時候;求通項公式,若兩項之差為n的一次式,可用累加法;用錯位相減法求數(shù)列的前n項和,用時要觀察項的特征,是否是等差數(shù)列的項與等比數(shù)列的項的乘積.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知點P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)(n∈N*)都在函數(shù)y=log
12
x
的圖象上.
(Ⅰ)若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,求證數(shù)列{an}為等比數(shù)列;
(Ⅱ)若數(shù)列{an}的前n項和為Sn=1-2-n,過點Pn,Pn+1的直線與兩坐標軸所圍成三角形面積為cn,求使cn≤t對n∈N*恒成立的實數(shù)t的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

以下有四種說法:
(1)若p∨q為真,p∧q為假,則p與q必為一真一假;
(2)若數(shù)列{an}的前n項和為Sn=n2+n+1,n∈N*,則an=2n,n∈N*
(3)若f′(x0)=0,則f(x)在x=x0處取得極值;
(4)由變量x和y的數(shù)據(jù)得到其回歸直線方程l: 
y
=bx+a
,則l一定經(jīng)過點P(
.
x
, 
.
y
)

以上四種說法,其中正確說法的序號為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則下列命題:
(1)若數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,則數(shù)列{Sn}也是遞增數(shù)列;
(2)數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列的充要條件是數(shù)列{an}的各項均為正數(shù);
(3)若{an}是等差數(shù)列(公差d≠0),則S1•S2…Sk=0的充要條件是a1•a2…ak=0.
(4)若{an}是等比數(shù)列,則S1•S2…Sk=0(k≥2,k∈N)的充要條件是an+an+1=0.
其中,正確命題的個數(shù)是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且有4Sn=an2+4n-1,n∈N*
(1)求a1的值;
(2)求證:(an-2)2-an-12=0(n≥2)
(3)求出所有滿足條件的數(shù)列{an}的通項公式.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知點(x,y)是區(qū)域
x+2y≤2n
x≥0
y≥0
,(n∈N*)內(nèi)的點,目標函數(shù)z=x+y,z的最大值記作zn.若數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,且點(Sn,an)在直線zn=x+y上.
(Ⅰ)證明:數(shù)列{an-2}為等比數(shù)列;
(Ⅱ)求數(shù)列{Sn}的前n項和Tn

查看答案和解析>>

同步練習冊答案