已知定義在R上的函數(shù)f(x),g(x)滿足
f(x)
g(x)
=ax
,且f′(x)g(x)<f(x)g′(x),
f(1)
g(1)
+
f(-1)
g(-1)
=
5
2
,若有窮數(shù)列{
f(n)
g(n)
}(n∈N*)
的前n項(xiàng)和等于
31
32
,則n=
5
5
分析:根據(jù)函數(shù)商的導(dǎo)數(shù)公式確定a的范圍,利用方程求得a值,從而可得有窮數(shù)列{
f(n)
g(n)
}(n∈N*)
是以
1
2
為首項(xiàng),
1
2
為公比的等比數(shù)列,利用等比數(shù)列的求和公式,即可求得結(jié)論.
解答:解:∵函數(shù)f(x),g(x)滿足
f(x)
g(x)
=ax

(ax)′=(
f(x)
g(x)
)′=
f′(x)g(x)-f(x)g′(x)
g2(x)

∵f′(x)g(x)<f(x)g′(x),
∴(ax)′<0
∴(ax)′=axlna<0,∴0<a<1
f(1)
g(1)
+
f(-1)
g(-1)
=
5
2
,∴a+
1
a
=
5
2

∴a=
1
2
或a=2(舍去)
∴有窮數(shù)列{
f(n)
g(n)
}(n∈N*)
是以
1
2
為首項(xiàng),
1
2
為公比的等比數(shù)列
∵有窮數(shù)列{
f(n)
g(n)
}(n∈N*)
的前n項(xiàng)和等于
31
32
,
1
2
[1-(
1
2
)n]
1-
1
2
=
31
32

(
1
2
)n=
1
32

∴n=5
故答案為:5
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合,考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,確定有窮數(shù)列{
f(n)
g(n)
}(n∈N*)
是以
1
2
為首項(xiàng),
1
2
為公比的等比數(shù)列是關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足下列條件:
①對(duì)任意的x∈R都有f(x+2)=f(x);
②若0≤x1<x2≤1,都有f(x1)>f(x2);
③y=f(x+1)是偶函數(shù),
則下列不等式中正確的是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f(x)=
f(x-1)-f(x-2),x>0
log2(1-x),       x≤0
  則:
①f(3)的值為
0
0

②f(2011)的值為
-1
-1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=-f(x),且x∈(-1,1]時(shí)f(x)=
1,(-1<x≤0)
-1,(0<x≤1)
,則f(3)=( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)f(x)是偶函數(shù),對(duì)x∈R都有f(2+x)=f(2-x),當(dāng)f(-3)=-2時(shí),f(2013)的值為( 。
A、-2B、2C、4D、-4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)f(x),對(duì)任意x∈R,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,若函數(shù)y=f(x+1)的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱,則f(2013)=( 。
A、0B、2013C、3D、-2013

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