Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x），g（x）滿足

f(x)

g(x)

=ax，且f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，若有窮數(shù)列{

f(n)

g(n)

}(n∈N*)的前n項(xiàng)和等于

31

32

，則n=

5

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)商的導(dǎo)數(shù)公式確定a的范圍，利用方程求得a值，從而可得有窮數(shù)列{

f(n)

g(n)

}(n∈N*)是以

1

2

為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的求和公式，即可求得結(jié)論．

解答：解：∵函數(shù)f（x），g（x）滿足

f(x)

g(x)

=ax，
∴(ax)′=(

f(x)

g(x)

)′=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

g2(x)

∵f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），
∴（a^x）′＜0
∴（a^x）′=a^xlna＜0，∴0＜a＜1
∵

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，∴a+

1

a

=

5

2

∴a=

1

2

或a=2（舍去）
∴有窮數(shù)列{

f(n)

g(n)

}(n∈N*)是以

1

2

為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列
∵有窮數(shù)列{

f(n)

g(n)

}(n∈N*)的前n項(xiàng)和等于

31

32

，
∴

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=

31

32

∴(

1

2

)n=

1

32

∴n=5
故答案為：5

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，確定有窮數(shù)列{

f(n)

g(n)

}(n∈N*)是以

1

2

為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列是關(guān)鍵．