Question

已知函數(shù)f（x）=a•2^x-1+2^-x（a為常數(shù)，x∈R）為偶函數(shù)．
（1）求a的值；并用定義證明f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）解不等式：f（2log_ax-1）＞f（log_ax+1）．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接根據(jù)偶函數(shù)的定義得到f（1）=f（-1），即可求出a的值；再用定義證明f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增即可；
（2）直接根據(jù)偶函數(shù)中f（-x）=f（x）=f（|x|），再結(jié)合其在[0，+∞）上的單調(diào)性即可求出不等式的解集．
解答：解：（1）f（x）為偶函數(shù)，所以f（1）=f（-1），
即：，解得：a=2
證明：設(shè)x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂
∴f（x₁）-f（x₂）==
∵x₁＜x₂，∴
∵x₁，x₂∈[0，+∞），∴
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）=2^x+2^-x在[0，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）f（x）為偶函數(shù)，a=2，
不等式f（2log_ax-1）＞f（log_ax+1）
變?yōu)閒（|2log₂x-1|）＞f（|log₂x+1|），
由于f（x）=2^x+2^-x在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以|2log₂x-1|＞|log₂x+1|，
兩邊平方，得：log₂²x-2log₂x＞0，
∴l(xiāng)og₂x＜0，或log₂x＞2
∴0＜x＜1，或x＞4
點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的綜合問題以及偶函數(shù)性質(zhì)的運用．解決第二問的關(guān)鍵在于根據(jù)偶函數(shù)中f（-x）=f（x）=f（|x|），把問題簡單化，避免討論．