Question

（2013•韶關(guān)二模）如圖，過(guò)點(diǎn)P（1，0）作曲線C：y=x²（x∈（0，+∞））的切線，切點(diǎn)為Q₁，設(shè)點(diǎn)Q₁在x軸上的投影是點(diǎn)P₁；又過(guò)點(diǎn)P₁作曲線C的切線，切點(diǎn)為Q₂，設(shè)Q₂在x軸上的投影是P₂；…；依此下去，得到一系列點(diǎn)Q₁，Q₂，Q₃-Q_n，設(shè)點(diǎn)Q_n的橫坐標(biāo)為a_n．
（1）求直線PQ₁的方程；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）記Q_n到直線P_nQ_n+1的距離為d_n，求證：n≥2時(shí)，

1

d1

+

1

d2

+…

1

dn

＞3．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用斜率相等，求出a₁，然后求直線PQ₁的方程；
（2）通過(guò)求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與切線的斜率，判斷數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，然后求出它的通項(xiàng)公式；
（3）利用Q_n到直線P_nQ_n+1的距離為d_n，通過(guò)公式利用基本不等式，即可通過(guò)累加法證明n≥2時(shí)，

1

d1

+

1

d2

+…

1

dn

＞3．

解答：解：（1）令Q₁（a₁，a₁²），由y′=2x得kPQ1=2x1…（1分）
即

a 2 1 -0

a1-1

=2a1 故a₁=2…（2分）
∴k_QP=4，則切線l₁的方程為：4x-y-4=0…（4分）
（2）令Q_n（a_n，a_n²），則Q_n-1（a_n-1，a_n-1²），P_n-1（a_n-1，0），
∴KPn-1Qn=

a 2 n -0

an-an-1

=2an…（5分）
化簡(jiǎn)得

an

an-1

=2，（n≥2），…（6分）
故數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列…（7分）
所以a_n=2ⁿ…（9分）
（3）由（2）知P_n-1（2ⁿ，0），Q_n-1（2ⁿ⁺¹，2²ⁿ⁺²），Q_n（2ⁿ，2²ⁿ），
故KPnQn+1=

22n+2-0

2n+1-2n

=2n+2，∴lPnQn+1：2ⁿ⁺²x-y-2²ⁿ⁺²=0…（10分）
∴dn=

|2n+2•2n-22n-22n+2|

(2n+2)2+1

=

4n

16•4n+1

＜

4n

4•2n

=

2n

4

．…（11分）
∴

1

dn

＞

4

2n

…（12分）
故

1

d1

+

1

d2

+…

1

dn

＞4[

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n]=4×

1 2 (1-( 1 2 )n)

1- 1 2

=4[1-(

1

2

)n]＞4＞3．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與直線的切線的關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，基本不等式以及累加法證明不等式的方法，考查計(jì)算能力．