Question

如圖，在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠C₁CB=∠C₁CD=∠BCD=θ（θ是銳角），底面ABCD是菱形，設(shè)

CD

=a，

CB

=b，

CC1

=c．
（Ⅰ）試用基底{a，b，c}表示向量

CA1

、

BD

和

C1D

，并證明CA₁⊥BD；
（Ⅱ）若CA₁⊥平面C₁BD，求證：CC₁=CD．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)向量的三角形法則把要表示的向量寫成以幾何體的棱為基底的向量的加法的形式，從向量的起點出發(fā)，沿著棱到終點．根據(jù)垂直的條件，其數(shù)量積等于0，即可證明
（Ⅱ）根據(jù)向量垂直，其數(shù)量積等于0，再根據(jù)數(shù)量積的公式，即可證明CC₁=CD．

解答： 解：（I）

CA1

=a+b+c，

BD

=a-b，

C1D

=a-c
依題意，|a|=|b|，
于是

CA1

•

BD

=(a+b+c)•(a-b)=a2-b2+a•c-b•c=|a||c|cosθ-|b||c|cosθ=0，
∴CA₁⊥BD；
（II）∵CA₁⊥平面C₁BD，
∴CA₁⊥BD，
即

C1A

•

C1D

=0，
∵

C1A

•

C1D

=a2-c2+a•b-c•b=|a|2-|c|2+|a||b|cosθ-|c||b|cosθ=（|a|-|c|）（|a|+|c|+|b|cosθ），
∵|a|+|c|+|b|cosθ＞0，
∴|a|=|c|，
即CC₁=CD．

點評：本題考查向量的基底表示和向量垂直的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵把向量表示成模長和夾角的向量的形式的運算，屬于基礎(chǔ)題