精英家教網 > 高中數(shù)學 > 題目詳情

函數(shù) $數(shù)學公式$ ．
（1）求f（x）的值域；
（2）求f（x）在[0，π）上的單調遞減區(qū)間．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ，
∴f（x）=cos $\text{[math]}$ +sin $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （sin $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$ +cos $\text{[math]}$ sin $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ sin（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）
∵x∈R，∴-1≤sin（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）≤1， $\text{[math]}$ sin（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）∈[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]
即函數(shù)f（x）的值域為[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]；
（2）由f（x）= $\text{[math]}$ sin（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ），令 $\text{[math]}$ +2kπ≤ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ +2kπ，（k為整數(shù)）
解之得 $\text{[math]}$ +4kπ≤x≤ $\text{[math]}$ +4kπ，所以f（x）的單調遞減區(qū)間是[ $\text{[math]}$ +4kπ， $\text{[math]}$ +4kπ]，（k為整數(shù)）．
取k=0，得[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，與[0，π）取交集可得[ $\text{[math]}$ ，π）
∴f（x）在[0，π）上的單調遞減區(qū)間為[ $\text{[math]}$ ，π）．
分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)的誘導公式與輔助角公式，化簡可得f（x）= $\text{[math]}$ sin（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ），再由x∈R，-1≤sin（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）≤1，可得函數(shù)f（x）的值域為[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]；
（2）先根據(jù)函數(shù)y=sinx的單調區(qū)間的結論，求得f（x）的單調遞減區(qū)間是[ $\text{[math]}$ +4kπ， $\text{[math]}$ +4kπ]，（k為整數(shù)），取k=0得到一個區(qū)間，將它與[0，π）取交集可得[ $\text{[math]}$ ，π），即得f（x）在[0，π）上的單調遞減區(qū)間．
點評：本題借助于一個特殊的三角函數(shù)，通過求函數(shù)的值域與單調區(qū)間，考查了正弦函數(shù)的單調性、三角函數(shù)的化簡與求值等知識點，屬于基礎題．

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（2）求證：當x＞0時，方程f（x）=g（x）+2有唯一解；
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