（選修4-5：不等式選講）已知a＞b＞c＞0，求證：a+
3
3(a-b)(b-c)c
≥6（并指出等號(hào)成立的條件）
分析：由題意可得，要證原不等式成立，只要證（a-b）+（b-c）+c+
1
3(a-b)(b-c)c
+
1
3(a-b)(b-c)c
+
1
3(a-b)(b-c)c
≥6 ①，根據(jù)6個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于這6個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)可得①成立，從而原不等式成立．
解答：證明：∵a＞b＞c＞0，要證a+
3
3(a-b)(b-c)c
≥6，
只要證 （a-b）+（b-c）+c+
1
3(a-b)(b-c)c
+
1
3(a-b)(b-c)c
+
1
3(a-b)(b-c)c
≥6  ①．
由于不等式的左邊這6項(xiàng)全部都是正實(shí)數(shù)，且這6項(xiàng)的積等于定值1，故這6個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)等于1，
由6個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于這6個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)可得
(a-b) +(b-c) +c +
1
3(a-b)(b-c)c
 +
1
3(a-b)(b-c)c
+
1
3(a-b)(b-c)c
6
≥1，
故①成立，故原不等式成立．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用分析法證明不等式，把證明不等式轉(zhuǎn)化為尋找使不等式成立的充分條件，直到使不等式成立的充分條件顯然已經(jīng)具備為止，利用了6個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于這6個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（選修4-5：不等式選講）
已知a，b，c∈R+，且
1
a
+
2
b
+
3
c
≤|x|+|x-2|對(duì)?x∈R恒成立，求a+2b+3c的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

選修4-5：不等式選講：
已知a、b、c是正實(shí)數(shù)，求證：
a2
b2
+
b2
c2
+
c2
a2
≥
b
a
+
c
b
+
a
c
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

本題包括（1）、（2）、（3）、（4）四小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在答題卡指定區(qū)域內(nèi)答，
若多做，則按作答的前兩題評(píng)分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
（1）、選修4-1：幾何證明選講
如圖，∠PAQ是直角，圓O與AP相切于點(diǎn)T，與AQ相交于兩點(diǎn)B，C．求證：BT平分∠OBA
（2）選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）
若點(diǎn)A（2，2）在矩陣M=
cosα-sinα
sinαcosα
對(duì)應(yīng)變換的作用下得到的點(diǎn)為B（-2，2），求矩陣M的逆矩陣
（3）選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）
在極坐標(biāo)系中，A為曲線ρ2+2ρcosθ-3=0上的動(dòng)點(diǎn)，B為直線ρcosθ+ρsinθ-7=0上的動(dòng)點(diǎn)，求AB的最小值．
（4）選修4-5：不等式選講（本小題滿分10分）
已知a1，a2…an都是正數(shù)，且a1•a2…an=1，求證：（2+a1）（2+a2）…（2+an）≥3n．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•泰州三模）選修4-5：不等式選講
已知a＞0，b＞0，n∈N*．求證：
an+1+bn+1
an+bn
≥
ab
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•徐州模擬）[選修4-5：不等式選講]
已知a，b，c為正數(shù)，且滿足acos2θ+bsin2θ＜c，求證：
a
cos2θ+
b
sin2θ＜
c
．

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