Question

如圖在邊長為1正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以正方體的三條棱所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，
（I）若點(diǎn)P在線段BD₁上，且滿足3|BP|=|BD₁|，試寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)并寫出P關(guān)于縱坐標(biāo)軸y軸的對稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)；
（Ⅱ）在線段C₁D上找一點(diǎn)M，使得點(diǎn)M到點(diǎn)P的距離最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計算

專題：空間向量及應(yīng)用

分析：（I）由題意知P的坐標(biāo)為（

2

3

，

2

3

，

1

3

），由此能求出P關(guān)于縱坐標(biāo)軸y軸的對稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)．
（Ⅱ）設(shè)線段C₁D上找一點(diǎn)M坐標(biāo)為（0，m，m），則有|MP|=

( 2 3 )2+(m- 2 3 )2+(m- 1 3 )2

=

2(m- 1 2 )2+ 1 2

，由此能求出M．

解答： 解：（I）由題意知P的坐標(biāo)為（

2

3

，

2

3

，

1

3

），…（2分）
P關(guān)于縱坐標(biāo)軸y軸的對稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（-

2

3

，

2

3

，-

1

3

）．…（5分）
（Ⅱ）設(shè)線段C₁D上找一點(diǎn)M坐標(biāo)為（0，m，m），
則有|MP|=

( 2 3 )2+(m- 2 3 )2+(m- 1 3 )2

=

2m2-2m+1

=

2(m- 1 2 )2+ 1 2

，
當(dāng)m=

1

2

時，|MP|取到最小值，
∴點(diǎn)為M（0，

1

2

，

1

2

）．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查空間中點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意配方法的合理運(yùn)用．