Question

已知0≤φ＜π，函數f（x）=

3

2

cos（2x+φ）+sin²x．
（Ⅰ）若φ=

π

6

，求f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（x）的最大值是

3

2

，求φ的值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ） 化簡可得f （x）=

1

2

cos （2x+

π

3

）+

1

2

，從而可求函數f （x）的值域為[0，1]；
（Ⅱ） 先求得f （x）=（

3

2

cosφ-

1

2

）cos2x-

3

2

sinφsin2x+

1

2

，由于函數f （x）的最大值為

3

2

，即有（

3

2

cosφ-

1

2

）²+（

3

2

sinφ）²=1，即可求φ的值．

解答： 解：本題滿分（14分）．
（Ⅰ） 由題意可得：
f （x）=

1

4

cos 2x-

3

4

sin2x+

1

2

=

1

2

cos （2x+

π

3

）+

1

2

，
所以，函數f （x）的值域為[0，1]．                            …（6分）
（Ⅱ） 由題意
f （x）=（

3

2

cosφ-

1

2

）cos2x-

3

2

sinφsin2x+

1

2

，
由于函數f （x）的最大值為

3

2

，即
（

3

2

cosφ-

1

2

）²+（

3

2

sinφ）²=1，
從而cosφ=0，又0≤φ＜π，故
φ=

π

2

．                   …（14分）

點評：本題主要考查兩角和差公式、二倍角公式、三角函數性質，同時考查運算求解能力，屬于基本知識的考查．