定義在R上的函數y=f(x),f(0)≠0,當x>0時,f(x)>1,且對任意的a、b∈R,有f(a+b)=f(a)·f(b).
(1)證明f(0)=1;
(2)證明對任意的x∈R,恒有f(x)>0;
(3)證明函數y=f(x)是R上的增函數.
證明:(1)取a=b=0,則f(0)=f2(0). ∵f(0)≠0,∴f(0)=1; (2)當x≥0時,f(x)≥1>0成立, 當x<0時,-x>0,f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=1, ∴f(x)= (3)設x1<x2,則x2-x1>0. ∴f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)·f(x1). ∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1. 又f(x1)>0,∴f(x2-x1)·f(x1)>f(x1). ∴f(x)是R上的增函數. 評述:本題主要考查抽象的思維推理能力.解本題的關鍵是靈活應用題目條件,尤其是(3)中“f(x2)=f[(x2-x1)+x1]”是證明單調性的關鍵,這里體現(xiàn)了構造條件式向條件化歸的策略. (3)也可以設x2=x1+t(t>0),f(x2)=f(x1+t)=f(x1)·f(t)>f(x1).或者設x1<x2,則 |
本題抽象函數的原型函數即為指數函數,可借助y=2x理清解答的思路和方法. |
科目:高中數學 來源: 題型:
定義在R上的函數y=f(x)是奇函數,且滿足f(1+x)=f(1-x).當x∈[-1,1]時,f(x)=x3,則f(2 011)的值是( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
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科目:高中數學 來源: 題型:
定義在R上的函數y=f(x)滿足f(4-x)=f(x),(x-2)·f′(x)<0,若x1<x2且x1+x2>4,則 ( ).
A.f(x1)<f(x2)
B.f(x1)>f(x2)
C.f(x1)=f(x2)
D.f(x1)與f(x2)的大小不確定
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科目:高中數學 來源:2010年吉林省高二下學期期中考試數學(理) 題型:選擇題
已知定義在R上的函數y=f (x) 在x=2處的切線方程是y=-x+6,則的值是
( )
A. B.2 C.3 D.0
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