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定義在R上的函數y=f(x),f(0)≠0,當x>0時,f(x)>1,且對任意的a、b∈R,有f(a+b)=f(a)·f(b).

(1)證明f(0)=1;

(2)證明對任意的x∈R,恒有f(x)>0;

(3)證明函數y=f(x)是R上的增函數.

答案:
解析:

  證明:(1)取a=b=0,則f(0)=f2(0).

  ∵f(0)≠0,∴f(0)=1;

  (2)當x≥0時,f(x)≥1>0成立,

  當x<0時,-x>0,f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=1,

  ∴f(x)=>0.∴x∈R時,恒有f(x)>0;

  (3)設x1<x2,則x2-x1>0.

  ∴f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)·f(x1).

  ∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1.

  又f(x1)>0,∴f(x2-x1)·f(x1)>f(x1).

  ∴f(x)是R上的增函數.

  評述:本題主要考查抽象的思維推理能力.解本題的關鍵是靈活應用題目條件,尤其是(3)中“f(x2)=f[(x2-x1)+x1]”是證明單調性的關鍵,這里體現(xiàn)了構造條件式向條件化歸的策略.

  (3)也可以設x2=x1+t(t>0),f(x2)=f(x1+t)=f(x1)·f(t)>f(x1).或者設x1<x2,則>1.又f(x1)>0,f(x2)>0,∴f(x2)>f(x1).


提示:

本題抽象函數的原型函數即為指數函數,可借助y=2x理清解答的思路和方法.


練習冊系列答案
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C.f(x1)=f(x2)

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       A.                     B.2                       C.3                       D.0

 

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