Question

已知函數(shù)f(x)=

x

1-|x|

，分別給出下面幾個(gè)結(jié)論，其中正確結(jié)論的序號(hào)有

①②③④

．
①f（x）是奇函數(shù)；
②函數(shù)f（x）的值域?yàn)镽；
③函數(shù)g（x）=f（x）+x有三個(gè)零點(diǎn)；
④當(dāng)x₁，x₂∈（-∞，-1），且x₁≠x₂，則 

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)恒成立．

Answer 1

分析：①利用奇函數(shù)的定義進(jìn)行驗(yàn)證f（-x）=

-x

1-|-x|

=-f（x）；②當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=

x

1-x

=-1+

1

1-x

，可求其值域，由①知當(dāng)x＜0時(shí)，可求f（x）值域，x=0時(shí)，f（x）=0，從而即可判斷；③由圖象知f（x）的圖象與y=-x有三個(gè)交點(diǎn)，故可判斷；④根據(jù) 

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)體現(xiàn)在圖象是表示圖象是下凹的，結(jié)合函數(shù)的圖象進(jìn)行判斷即可．

解答：解：①f（-x）=

-x

1-|-x|

=-f（x）∴正確；
②當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=

x

1-x

=-1+

1

1-x

∈（0，+∞）∪（-∞，-1）
由①知當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=

x

x+1

∈（1，+∞）∪（-∞，0）
x=0時(shí)，f（x）=0
∴函數(shù) f （x） 的值域?yàn)镽，故正確；
③由圖象知f（x）的圖象與y=-x有三個(gè)交點(diǎn)，原點(diǎn)及第二、四象限各一個(gè)，
∴函數(shù)g（x）=f（x）+x有三個(gè)零點(diǎn)，故正確．
④

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)體現(xiàn)在圖象是表示圖象是下凹的，結(jié)合函數(shù)在（-∞，-1）上的圖象，其是下凹的，故④正確．
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查函數(shù)的圖象、性質(zhì)及函數(shù)的零點(diǎn)，注意數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)與方程思想的應(yīng)用．屬中檔題