Question

求所有的正整數(shù)，使得是一個完全平方數(shù)，且除了2或3以外，沒有其他的質(zhì)因數(shù).

Answer 1

符合條件的值有6個，分別為64，108，288，864，1728，10368.

設(shè)，其中，則.
依題意，可設(shè)其中均為非負整數(shù)，于是
                  （1）…………………………5分
如果，則，這是不可能的.所以中至少有一個大于0，于是和均為偶數(shù)，從而均為正整數(shù).
若，則，顯然只可能（否則左右兩邊被4除的余數(shù)不相同），此時，顯然只能是，此時.
…………………………10分
若，則是4的倍數(shù)，從而也是4的倍數(shù)，故，此時
                                       （2）
顯然中至少有一個應(yīng)為0（否則（2）式左右兩邊奇偶性不相同）.
1）當(dāng)，即時，                    （3）
此時（否則等式左右兩邊奇偶性不相同），故.
若，則（3）式左邊是9的倍數(shù)，而右邊為3，矛盾，故只可能，從而（3）式即，它只有兩組解和即和此時，對應(yīng)的值分別為24和96，相應(yīng)的值分別為864和10368. …………………15分
2）當(dāng)，即時，                    （4）
此時顯然（否則等式左右兩邊奇偶性不相同），故.
若，則（4）式左邊是9的倍數(shù)，而右邊是3，無解.故.
若，則，只可能，此時.
若，則（4）式即，它只有兩組解和即和此時，對應(yīng)的值分別為12和36，相應(yīng)的值分別為288和1728.
因此，符合條件的值有6個，分別為64，108，288，864，1728，10368.
…………………………20分