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14.(1)若cos({\frac{π}{4}+x})=\frac{3}{5},\frac{17}{12}π<x<\frac{7}{4}π,求\frac{{sin2x+2si{n^2}x}}{1-tanx}的值.
(2)已知函數(shù)f(x)=2\sqrt{3}sinxcosx+2cos2x-1(x∈R),若f(x0)=\frac{6}{5},x0∈[\frac{π}{4},\frac{π}{2}],求cos2x0的值.

分析 (1)根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系,轉(zhuǎn)化法求出cosx、sinx和tanx的值,再計算所求的算式;
(2)利用三角恒等變換化簡f(x),根據(jù)f(x0)=\frac{6}{5}求出sin(2x0+\frac{π}{6})和cos(2x0+\frac{π}{6})的值,再計算cos2x0的值.

解答 解:(1)由\frac{17}{12}π<x<\frac{7}{4}π,得\frac{5}{3}π<x+\frac{π}{4}<2π,
又cos({\frac{π}{4}+x})=\frac{3}{5},∴sin({\frac{π}{4}+x})=-\frac{4}{5};
∴cosx=cos[{({\frac{π}{4}+x})-\frac{π}{4}}]=cos({\frac{π}{4}+x})cos\frac{π}{4}+sin({\frac{π}{4}+x})sin\frac{π}{4}=-\frac{{\sqrt{2}}}{10}
從而sinx=-\frac{{7\sqrt{2}}}{10},tanx=7;
故原式=\frac{{2sinxcosx+2si{n^2}x}}{1-tanx}=\frac{{2({-\frac{{7\sqrt{2}}}{10}})•({-\frac{{\sqrt{2}}}{10}})+2{{({-\frac{{7\sqrt{2}}}{10}})}^2}}}{1-7}=-\frac{28}{75};
(2)f(x)=2\sqrt{3}sinxcosx+2cos2x-1
=\sqrt{3}sin2x+cos2x
=2sin(2x+\frac{π}{6}),
當f(x0)=\frac{6}{5}時,
sin(2x0+\frac{π}{6})=\frac{3}{5},
又x0∈[\frac{π}{4}\frac{π}{2}],∴2x0+\frac{π}{6}∈[\frac{2π}{3},\frac{7π}{6}],
∴cos(2x0+\frac{π}{6})=-\frac{4}{5},
∴cos2x0=cos[(2x0+\frac{π}{6})-\frac{π}{6}]=-\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{5}×\frac{1}{2}=\frac{3-4\sqrt{3}}{10}

點評 本題考查了同角的三角函數(shù)關(guān)系與三角恒等變換的應(yīng)用問題,是綜合性題目.

練習冊系列答案
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5.已知兩點A(1,2).B(2,1)在直線mx-y+1=0的異側(cè),則實數(shù)m的取值范圍為(  )
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2.為了考察某種藥物預(yù)防禽流感的效果,某研究中心選了50只鴨子做實驗,統(tǒng)計結(jié)果如下:
得禽流感不得禽流感總計
服藥52025
不服藥151025
總計203050
(1)能有多大的把握認為藥物有效?
(2)在服藥后得禽流感的鴨子中,有2只母鴨,3只公鴨,在這5只中隨機抽取3只再進行研究,求至少抽到1只母鴨的概率.
參考公式:K2=\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}
臨界值表:
 P(K2≥k0 0.10 0.05 0.01
 k0 2.706 3.841 6.635

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9.若x、y滿足\left\{\begin{array}{l}{x+y-\sqrt{2}≤0}\\{x-y+\sqrt{2}≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.,則對于z=2x-y( �。�
A.({-\sqrt{2},0})處取得最大值B.({0,\sqrt{2}})處取得最大值
C.({\sqrt{2},0})處取得最大值D.無最大值

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19.已知橢圓{x^2}+\frac{y^2}{4}=1和點A({\frac{1}{2},\frac{1}{2}})、B({\frac{1}{2},1}),若橢圓的某弦的中點在線段AB上,且此弦所在直線的斜率為k,則k的取值范圍為( �。�
A.[-4,-2]B.[-2,-1]C.[-4,-1]D.[{-1,-\frac{1}{2}}]

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(1)求橢圓C的方程;
(2)斜率為2的直線與橢圓交于P、Q兩點OP⊥OQ,求直線l的方程;
(3)在x上是否存在一點E使得過E的任一直線與橢圓若有兩個交點M、N則都有\frac{1}{{|EM{|^2}}}+\frac{1}{{|EN{|^2}}}為定值?若存在,求出點E的坐標及相應(yīng)的定值.

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