【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為 是橢圓上一點(diǎn),若, .

(1)求橢圓的方程;

(2)直線過(guò)右焦點(diǎn)(不與軸重合)且與橢圓相交于不同的兩點(diǎn),在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn),使得的值為定值?若存在,寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)(不必求出定值);若不存在,說(shuō)明理由.

【答案】(1);(2)-.

【解析】試題分析:(1)根據(jù)題意列出關(guān)于 、的方程組,結(jié)合性質(zhì) , ,求出 、,即可得結(jié)果;;(2)設(shè)直線方程為 與橢圓方程聯(lián)立,設(shè)出 點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)韋達(dá)定理及平面向量數(shù)量積公式將 表示,進(jìn)而可得結(jié)果.

試題解析:(1)由題意:c=,||2+||2=(2c)2=20 ||·||=8

∴(||+||)2=||2+||2+2||·||=36 解得: ||+||=6

2a=6 ∴a=3 b2=a2-c2=4

∴橢圓的方程為: + =1

(2)解法一:設(shè)直線l的方程為:x=my+

代入橢圓方程并消元整理得:(4m2+9)x2-18x+45-36m2=0…………………①

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則是方程①的兩個(gè)解,由韋達(dá)定理得:

x1+x2=, x1x2= y1y2= (x1-)(x2-)= ( x1x2- (x1+x2)+5)=

·=(x1-x0,y1) ·(x2-x0,y2)=( x1-x0)( x2-x0)+ y1y2= x1x2- x0(x1+x2)+x02+ y1y2

=- x0+x02+=

·=t 則(4x02-36)m2+9x02-18x0+29= t(4m2+9)

比較系數(shù)得:4x02-36=4t且9x02-18x0+29=9t 消去t得:

36x02-36×9=36x02-72x0+29×4 解得:x0=

∴在x軸上存在一個(gè)定點(diǎn)P(,0),使得·的值為定值(-);

解法二:當(dāng)直線與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線l方程為:y=k(x-),代入橢圓方程并消元整理得:

(9k2+4)x2-18k2x+45k2-36=0………………①

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則是方程①的兩個(gè)解,由韋達(dá)定理得:

x1+x2=, x1x2= y1y2=k2(x1-)(x2-)=k2( x1x2- (x1+x2)+5)=

·=(x1-x0,y1) ·(x2-x0,y2)=( x1-x0)( x2-x0)+ y1y2= x1x2- x0(x1+x2)+x02+ y1y2

=

·=t 則(9x02-18x0+29)k2+4x02-36= t(4+9k2)

9x02-18x0+29=9 t且 4x02-36=4t

解得:x0= 此時(shí)t的值為-

當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí),l的方程為:x=,代入橢圓方程解得:A(,-),B(,)

·=(-,-)·(-,)=-=-

∴當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí),·也為定值-

綜上, 在x軸上存在一個(gè)定點(diǎn)P(,0),使得·的值為定值(-)

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網(wǎng)購(gòu)達(dá)人

非網(wǎng)購(gòu)達(dá)人

合計(jì)

男性

30

女性

12

30

合計(jì)

60

若網(wǎng)購(gòu)金額超過(guò)千元的顧客稱(chēng)為“網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”,網(wǎng)購(gòu)金額不超過(guò)千元的顧客稱(chēng)為“非網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”.

(Ⅰ)若抽取的“網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”中女性占12人,請(qǐng)根據(jù)條件完成上面的列聯(lián)表,并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”與性別有關(guān)?

(Ⅱ)該營(yíng)銷(xiāo)部門(mén)為了進(jìn)一步了解這名網(wǎng)友的購(gòu)物體驗(yàn),從“非網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”、“網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”中用分層抽樣的方法確定12人,若需從這12人中隨機(jī)選取人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查.設(shè)為選取的人中“網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

(參考公式: ,其中

P()

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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