Question

已知等差數列{a_n}中，a₁=-16，a₂=-4，等比數列{b_n}中b₃=a₃，b₅=a₅，b_n＞0．
（1）求數列{b_n}的通項b_n．
（2）若數列{c_n}滿足

c1

b1

+

c2

b2

+

c3

b3

+…+

cn

bn

=3-

n+2

2n

（n∈N^*），求數列{c_n}的通項c_n．

Answer 1

考點：等差數列與等比數列的綜合,等比數列的通項公式,數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）利用條件求等差數列的公差，再由通項公式和條件列出方程組，求等比數列的首項和公比，再代入通項公式化簡即可，注意題意中的條件；
（2）根據給出的式子，令n=n-1代入得到另外一個式子，再兩式作差化簡，利用（1）的結果求出c_n，必須驗證n=1時是否符合，再表示出c_n的表達式．

解答： 解：（1）設等差數列{ a_n}的公差為d，等比數列{ b_n}的公比為q，
∵a₁=-16，a₂=-4，
∴d=a₂-a₁=12，
又∵b₃=a₃，b₅=a₅，
∴

b1q2=8 b1q4=32

，
∵b_n＞0，∴q=2，b₁=2，
則

bn=b1qn-1=2n

；
（2）∵

c1

b1

+

c2

b2

+

c3

b3

+…+

cn

bn

=3-

n+2

2n

（n∈N^*）    ①，
∴當n≥2時，有

c1

b1

+

c2

b2

+

c3

b3

+…+

cn-1

bn-1

=3-

n+1

2n-1

    ②，
①-②得，

cn

bn

=(3-

n+2

2n

)-(3-

n+1

2n-1

)=

n

2n

，
由（1）得，

bn=2n

，∴c_n=n，
當n=1時，

c1

b1

=3-

1+2

2

=

3

2

，由b₁=2得，c₁=3，故不符合上式，
綜上得，

cn= 3 ，n=1 n ，n≥2

．

點評：本題考查了等差（等比）數列的通項公式，基本量的運算，以及數列的前n項和與通項的關系的應用，注意必須驗證n=1時是否成立，這是易忘的地方．