Question

已知函數(shù)

求函數(shù)在上的最大值與最小值；

若時(shí)，函數(shù)的圖像恒在直線上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

證明：當(dāng)時(shí)，．

 

Answer 1

（1）；（2）實(shí)數(shù)取值范圍是 ；(3)證明過程見解析.

【解析】

試題分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，判斷的單調(diào)性，可求得最值；（2）將圖象問題轉(zhuǎn)化為不等式在恒成立的問題，進(jìn)而變?yōu)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720353801783272/SYS201411172035445805617677_DA/SYS201411172035445805617677_DA.008.png">恒成立，即求的取值范圍的問題，可得取值范圍是；（3）利用，令轉(zhuǎn)化為，累加即可.

試題解析：

【解析】
（1）定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720353801783272/SYS201411172035445805617677_DA/SYS201411172035445805617677_DA.013.png">，且， 1分

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

在為為減函數(shù)；在上為增函數(shù)，3分

4分

5分

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像恒在直線的上方，等價(jià)于時(shí)不等式恒成立，即恒成立， 6分

令，則，當(dāng)時(shí)，，故在上遞增，所以時(shí)，， 9分

故滿足條件的實(shí)數(shù)取值范圍是 10分

證明：由（2）知當(dāng)時(shí)， 11分

令，則，化簡(jiǎn)得 13分

即 14分

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，構(gòu)造法.