設(shè)f（x）=ln（x+1）++ax+b（a，b∈R，a，b為常數(shù)），曲線y=f（x）與直線y=x在（0，0）點(diǎn)相切．
（I）求a，b的值；
（II）證明：當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f（x）＜．
【答案】分析：（I）由y=f（x）過（0，0），可求b的值，根據(jù)曲線y=f（x）與直線在（0，0）點(diǎn)相切，利用導(dǎo)函數(shù)，可求a的值；
（II）由（I）知f（x）=ln（x+1）+，由均值不等式，可得，構(gòu)造函數(shù)k（x）=ln（x+1）-x，可得ln（x+1）＜x，從而當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜，記h（x）=（x+6）f（x）-9x，可證h（x）在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞減，從而h（x）＜0，故問題得證．
解答：（I）解：由y=f（x）過（0，0），∴f（0）=0，∴b=-1
∵曲線y=f（x）與直線在（0，0）點(diǎn)相切．
∴y′|x=0=
∴a=0；
（II）證明：由（I）知f（x）=ln（x+1）+
由均值不等式，當(dāng)x＞0時(shí)，，∴①
令k（x）=ln（x+1）-x，則k（0）=0，k′（x）=，∴k（x）＜0
∴l(xiāng)n（x+1）＜x，②
由①②得，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜
記h（x）=（x+6）f（x）-9x，則當(dāng)0＜x＜2時(shí)，h′（x）=f（x）+（x+6）f′（x）-9
＜＜
=
∴h（x）在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞減，又h（0）=0，∴h（x）＜0
∴當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f（x）＜．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查構(gòu)造法的運(yùn)用，考查不等式的證明，正確構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx-
1
2
ax2+bx（a＞0），且f′（1）=0
（1）試用含有a的式子表示b，并求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）的最大值為g（a），試證明不等式：g（a）＞ln（1+
a
2
）-1
（3）首先閱讀材料：對(duì)于函數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)圖象上存在點(diǎn)M（x0，y0）（x0∈（x1，x2）），使得f（x）在點(diǎn)M處的切線l∥AB，則稱AB存在“相依切線”特別地，當(dāng)x0=
x1+x2
2
時(shí)，則稱AB存在“中值相依切線”．請(qǐng)問在函數(shù)f（x）的圖象上是否存在兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），使得AB存在“中值相依切線”？若存在，求出一組A、B的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•遼寧）設(shè)f（x）=ln（x+1）+
x+1
+ax+b（a，b∈R，a，b為常數(shù)），曲線y=f（x）與直線y=
3
2
x在（0，0）點(diǎn)相切．
（I）求a，b的值；
（II）證明：當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f（x）＜
9x
x+6
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）滿足f（x）+f'（0）-e-x=-1，函數(shù)g（x）=-λlnf（x）+sinx是區(qū)間[-1，1]上的減函數(shù)．
（1）當(dāng)x≥0時(shí)，曲線y=f（x）在點(diǎn)M（t，f（t））的切線與x軸、y軸圍成的三角形面積為S（t），求S（t）的最大值；
（2）若g（x）＜t2+λt+1在x∈[-1，1]時(shí)恒成立，求t的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)h（x）=-lnf（x）-ln（x+m），常數(shù)m∈Z，且m＞1，試判定函數(shù)h（x）在區(qū)間[e-m-m，e2m-m]內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并作出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•洛陽模擬）設(shè)f（x）=ln（|x-1|+m|x-2|-3）（m∈R）
（Ⅰ）當(dāng)m=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）若當(dāng)1≤x≤
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，f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）=ln（x+1），（x＞-1）
（1）討論函數(shù)g(x)=af(x)-
1
2
x2（a≥0）的單調(diào)性．
（2）求證：(1+
1
1
)(1+
1
2
)(1+
1
3
)…(1+
1
n
)＜e
n+2
2
（n∈N*）

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