Question

如圖，一張平行四邊形的硬紙片中，，。沿它的對(duì)角線(xiàn)把△折起，使點(diǎn)到達(dá)平面外點(diǎn)的位置。

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）如果△為等腰三角形，求二面角的大小。

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：因?yàn)?sub>，，

所以，。

因?yàn)檎郫B過(guò)程中，，

所以，又，故平面。

又平面，所以平面平面。

（Ⅱ）解法一：如圖，延長(zhǎng)到，使，連結(jié)，。

因?yàn)?sub>，，，，所以為正方形，。

由于，都與平面垂直，所以，可知。

因此只有時(shí)，△為等腰三角形。

在△中，，又，

所以△為等邊三角形，。

由（Ⅰ）可知，，所以為二面角的平面角，即二面角的大小為。

解法二：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線(xiàn)，分別為軸正半軸和軸正半軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則，，。

由（Ⅰ）可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，則有。      ①

因?yàn)椤?sub>為等腰三角形，所以或。

若，則有。

則此得，，不合題意。

若，則有。          ②

聯(lián)立①和②得，。故點(diǎn)的坐標(biāo)為。

由于，，所以與夾角的大小等于二面角的大小。

又，，

所以  即二面角的大小為。