Question

3．為了更好地讓學(xué)生適應(yīng)高考網(wǎng)上閱卷，某學(xué)校針對該校20個班級進行了“漢字與英語書法大賽”（每個班級只有一個指導(dǎo)老師），并調(diào)查了各班參加該比賽的學(xué)生人數(shù)，根據(jù)所得數(shù)據(jù)，分組成[0，5），[5，10），[10，15），[15，20），[20，25），[25，30），[30，35），[35，40]時，所作的頻率分布直方圖如圖：
（1）如果從參加比賽的學(xué)生人數(shù)在25人以上（含25人）的班級中隨機選取2個指導(dǎo)老師頒發(fā)“參與組織獎”，那么至少有一位來自“參與學(xué)生人數(shù)在[25，30）內(nèi)的班級”的指導(dǎo)老師獲獎的概率是多少？
（2）如果從參加比賽的學(xué)生人數(shù)在25人以上（含25人）的班級中隨機選取3個指導(dǎo)老師頒發(fā)“參與組織獎”，設(shè)“參與學(xué)生人數(shù)在[25，30）內(nèi)的班級”的指導(dǎo)老師獲獎人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)可得∴從參加比賽的學(xué)生人數(shù)在25人以上（含25人）的班級的指導(dǎo)老師共有8人．那么至少有一位來自“參與學(xué)生人數(shù)在[25，30）內(nèi)的班級”的指導(dǎo)老師獲獎的概率是P=1-$\frac{{∁}_{5}^{2}}{{∁}_{8}^{2}}$．
（2）根據(jù)（1）可知：X的取值可能為0，1，2，3．P（X=k）=$\frac{{∁}_{3}^{k}{∁}_{5}^{3-k}}{{∁}_{8}^{3}}$，即可得出．

解答 解：（1）根據(jù)頻率分布直方圖可得：[25，30）對應(yīng)的頻數(shù)為20×0.03×5=3，
[30，35）對應(yīng)的頻數(shù)為20×0.03×5=3，
[35，40）對應(yīng)的頻數(shù)為20×0.02×5=2．
∴從參加比賽的學(xué)生人數(shù)在25人以上（含25人）的班級的指導(dǎo)老師共有8人．
那么至少有一位來自“參與學(xué)生人數(shù)在[25，30）內(nèi)的班級”的指導(dǎo)老師獲獎的概率是P=1-$\frac{{∁}_{5}^{2}}{{∁}_{8}^{2}}$=$\frac{9}{14}$．
（2）根據(jù)（1）可知：X的取值可能為0，1，2，3．P（X=k）=$\frac{{∁}_{3}^{k}{∁}_{5}^{3-k}}{{∁}_{8}^{3}}$，可得P（X=0）=$\frac{5}{28}$，可得P（X=1）=$\frac{15}{28}$，可得P（X=2）=$\frac{15}{56}$，可得P（X=3）=$\frac{1}{56}$．可得X的分布列：

X	0	1	2	3
P	$\frac{5}{28}$	$\frac{15}{28}$	$\frac{15}{56}$	$\frac{1}{56}$

∴E（X）=0×$\frac{5}{28}$+1×$\frac{15}{28}$+2×$\frac{15}{56}$+3×$\frac{1}{56}$=$\frac{9}{8}$．

點評 本題考查了頻率分布直方圖的性質(zhì)、超幾何分布列的概率與數(shù)學(xué)期望計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．