Question

在某次數(shù)學(xué)競賽中共有甲、乙、丙三題，共25人參加競賽，每個(gè)同學(xué)至少選作一題．在所有沒解出甲題的同學(xué)中，解出乙題的人數(shù)是解出丙題的人數(shù)的2倍；解出甲題的人數(shù)比余下的人數(shù)多1人；只解出一題的同學(xué)中，有一半沒解出甲題，問共有多少同學(xué)解出乙題？

Answer 1

分析：設(shè)解出甲、乙、丙三題的學(xué)生的集合分別為A、B、C，并用三個(gè)圓表示之，則重疊部分表示同時(shí)解出兩題或三題的學(xué)生的集合，其人數(shù)分別以a，b，c，d，e，f，g表示，再根據(jù)原題中的條件列出方程，化簡方程，確定所求解的未知數(shù)的范圍，再結(jié)合元素的個(gè)數(shù)為正整數(shù)這一特點(diǎn)，即可求解．

解答：解：設(shè)解出甲、乙、丙三題的學(xué)生的集合分別為A、B、C，并用三個(gè)圓表示之，則重疊部分表示同時(shí)解出兩題或三題的學(xué)生的集合，其人數(shù)分別以a，b，c，d，e，f，g表示．
由于每個(gè)學(xué)生至少解出一題，故a+b+c+d+e+f+g=25①
由于沒有解出甲題的學(xué)生中，解出乙題的人數(shù)是解出丙題的人數(shù)的2倍，故b+f=2（c+f）②
由于只解出甲題的學(xué)生比余下的學(xué)生中解出甲題的學(xué)生的人數(shù)多1，故a=d+e+g+1③
由于只解出一題的學(xué)生中，有一半沒有解出甲題，故a=b+c④
由②得：b=2c+f，f=b-2c⑤
以⑤代入①消去f得a+2b-c+d+e+g=25⑥
以③、④分別代入⑥得：2b-c+2d+2e+2g=24⑦
3b+d+e+g=25⑧
以2×⑧-⑦得：4b+c=26⑨
∵c≥0，∴4b≤26，b≤6.5．
利用⑤⑨消去c，得f=b-2（26-4b）=9b-52
∵f≥0，∴9b≥52．
∵b∈Z，
∴b=6．可以解出a=8，b=6，c=2，f=2，可以知道共有15位同學(xué)解出甲題，
但只解出乙題的學(xué)生有6人．

點(diǎn)評(píng)：本題考查集合的表示方法：Venn圖，以及集合運(yùn)算和集合元素個(gè)數(shù)的關(guān)系和確定方法，要注意方程的變形和未知數(shù)范圍的確定，是一道基礎(chǔ)題．