Question

在正項等比數(shù)列中{a_n}，公比q∈（0，1），且a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，a₃與a₅的等比中項為2
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=log₂a_n，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，當(dāng)

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

最大時，求n的值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等比數(shù)列的性質(zhì)和通項公式即可得出；
（2）利用等差數(shù)列的前n項和公式、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）∵a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，
∴a32+2a3a5+a52=(a3+a5)2=25，
∵q∈（0，1）∴a₃＞a₅＞0，∴a₃+a₅=5，
又a₃•a₅=4，
解得a₃=4，a₅=1，
∴

a1q2=4 a1q4=1

，解得q=

1

2

，a1=16．
故an=a1qn-1=16•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-5．
（2）∵b_n=log₂a_n=5-n，
∴Sn=

n(4+5-n)

2

=

n(9-n)

2

，

Sn

n

=

9-n

2

，
∴

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

=

n(4+ 9-n 2 )

2

=

17n-n2

4

，
故n=8或9時，

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

最大值18．

點評：本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)和通項公式、等差數(shù)列的前n項和公式、二次函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)的運算法則等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題．