Question

4．已知函數(shù)f（x）=lnx+bx-c，f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x+y+4=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調區(qū)間；
（3）若函數(shù)f（x）在定義域內恒有f（x）≥2lnx+kx成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，計算f（1），f′（1），結合切線方程求出b，c的值，從而求出函數(shù)f（x）的解析式即可；
（2）求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間即可；
（3）問題轉化為$k≤-2-\frac{lnx+3}{x}$在定義域（0，+∞）內恒成立，設$g（x）=-2-\frac{lnx+3}{x}$，根據(jù)函數(shù)的單調性求出k的范圍即可．

解答 解：（1）由題意，得$f'（x）=\frac{1}{x}+b$，
則f'（1）=1+b，∵在點（1，f（1））處的切線方程為x+y+4=0，
∴切線斜率為-1，則1+b=-1，得b=-2，
將（1，f（1））代入方程x+y+4=0，得1+f（1）+4=0，解得f（1）=-5，
∴f（1）=b-c=-5，將b=-2代入得c=3，
故f（x）=lnx-2x-3．
（2）依題意知函數(shù)的定義域是（0，+∞），且$f'（x）=\frac{1}{x}-2$，
令f'（x）＞0，得$0＜x＜\frac{1}{2}$，令f'（x）＜0，得$x＞\frac{1}{2}$，
故f（x）的單調增區(qū)間為$（0，\frac{1}{2}）$，單調減區(qū)間為$（\frac{1}{2}，+∞）$．
（3）由f（x）≥2lnx+kx，得lnx-2x-3≥2lnx+kx，
∴$k≤-2-\frac{lnx+3}{x}$在定義域（0，+∞）內恒成立．
設$g（x）=-2-\frac{lnx+3}{x}$，則$g'（x）=\frac{lnx+2}{x^2}$，
令g'（x）=0，得x=e^-2．
令g'（x）＞0，得x＞e^-2，令g'（x）＜0，得0＜x＜e^-2，
故g（x）在定義域內有極小值g（e^-2），此極小值又為最小值．
∴g（x）的最小值為$g（{e^{-2}}）=-2-\frac{{ln{e^{-2}}+3}}{{{e^{-2}}}}=-2-{e^2}$，
所以k≤-2-e²，即k的取值范圍為（-∞，-2-e²]．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題，是一道綜合題．