Question

已知a，b是不相等的正數(shù)，在a，b之間分別插入m個正數(shù)a₁，a₂， ，a_m和正數(shù)b₁，b₂， ，
b_m，使a，a₁，a₂， ，a_m，b是等差數(shù)列，a，b₁，b₂， ，b_m，b是等比數(shù)列．
（1）若m＝5，＝，求的值；
（2）若b＝λa(λ∈N^*，λ≥2)，如果存在n (n∈N^*，6≤n≤m)使得a_n－5＝b_n，求λ的最小值及此時m的值；
（3）求證：a_n＞b_n(n∈N*，n≤m)．

Answer 1

（1）;（2）最小值為4，此時為29;(3)詳見解析

試題分析：（1）根據(jù)題意m＝5時，共有7項，設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則，表示出，又由，可得到，解得;（2）由條件得，即，從而得，又由于，即，從而得，又題中有，可得， 化簡消去a得：，觀察此式結(jié)構(gòu)特征：，則要求為有理數(shù)．即必須為有理數(shù)，而，可將用數(shù)字代入檢驗： 若，則為無理數(shù)，不滿足條件; 同理，不滿足條件; 當(dāng)時，．要使為有理數(shù)，則必須為整數(shù)，要滿足 ，可解得;(3)可假設(shè)，為數(shù)列的前項的和，我們易先證：若為遞增數(shù)列，則為遞增數(shù)列;同理可證，若為遞減數(shù)列，則為遞減數(shù)列;由于a和b的大小關(guān)系不確定，故要對其分類討論：①當(dāng)時，．當(dāng)時，．即，即．因為，所以，即，即;②當(dāng)時，同理可求得．
試題解析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，
則．
．                                2分
因為，所以，解得．                4分
（2）因為，所以，從而得．
因為，所以，從而得．
因為，所以．
因為，所以（*）．                       6分
因為，所以為有理數(shù)．
要使（*）成立，則必須為有理數(shù)．
因為，所以．
若，則為無理數(shù)，不滿足條件．
同理，不滿足條件．                                        8分
當(dāng)時，．要使為有理數(shù)，則必須為整數(shù)．
又因為，所以僅有滿足條件．
所以，從而解得．
綜上，最小值為4，此時為29．                             10分
(3)設(shè)，為數(shù)列的前項的和．
先證：若為遞增數(shù)列，則為遞增數(shù)列．
證明：當(dāng)時，．    
因為，所以，即數(shù)列為遞增數(shù)列．     
同理可證，若為遞減數(shù)列，則為遞減數(shù)列．                 12分
①當(dāng)時，．當(dāng)時，．
即，即．   
因為，
所以，即，即．      
②當(dāng)時，，當(dāng)時，．
即．
因為，所以．以下同①．
綜上，．                                   16分