Question

【題目】設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，且.

（1）若橢圓的離心率為，求橢圓的方程；

（2）設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，直線與軸相交于點(diǎn)，若以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，證明：點(diǎn)在直線上.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

試題分析：（1）由題意離心率以及可以建立關(guān)于，，的方程組，求得，，的值即可求解；（2）設(shè)，根據(jù)題意將，用含的代數(shù)式表示，消去參數(shù)后即可得到，所滿足的關(guān)系式，從而得證．

試題解析：（1）設(shè)，由題意，得，且，得，，，

∴橢圓的方程為；（2）由題意，得，∴橢圓的方程，則，，，設(shè)，由題意知，則直線的斜率，直線的方程為，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)，直線的斜率為，∵以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，∴，∴，化簡得，又∵為橢圓上一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，∴，，，由①②，解得，，∴，即點(diǎn)在直線上．