Question

已知橢圓C：的離心率為，短軸長(zhǎng)為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M，N在y軸上，圓（x+1）²+y²=1內(nèi)切于△PMN，求△PMN面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓C：的離心率為，短軸長(zhǎng)為4，建立方程，求得幾何量，即可求橢圓C的方程；
（2）設(shè)P（x，y），直線(xiàn)PM、PN的方程，利用圓心（1，0）到直線(xiàn)PM、PN的距離為1，建立方程，利用韋達(dá)定理，確定直線(xiàn)斜率之間的關(guān)系，進(jìn)而表示三角形的面積，即可求△PMN面積的最小值．
解答：解：（1）∵橢圓C：的離心率為，短軸長(zhǎng)為4
∴
∴
∴
∴橢圓C的方程為；
（2）設(shè)P（x，y），直線(xiàn)PM：y-y=k₁（x-x）
∵圓心（1，0）到直線(xiàn)PM的距離為1
∴
∴（）+2y（1-x）k₁+=0
同理（）+2y（1-x）k₂+=0
∴k₁+k₂=-，
∴=
∵P（x，y）是橢圓上的點(diǎn)，∴，∴
∵y_M=y-k₁x，y_N=y-k₂x
∴S_△PMN==×=
∴S隨x的增大而減小，
∴時(shí)，S_△PMN有最小值為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，屬于中檔題．