Question

數(shù)列{a_n}，a₁=1，a_n+1=2a_n-n²+3n（n∈N^*）
（1）是否存在常數(shù)λ、u，使得數(shù)列{a_n+λn²+um}是等比數(shù)列，若存在，求出λ、u的值，若不存在，說(shuō)明理由．
（2）設(shè)b_n=，S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，證明：當(dāng)n≥2時(shí)，＜Sn＜．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)a_n+1=2a_n-n²+3n，a_n+1=2a_n-λn²+（μ-2λ）n-λ-μ，由題設(shè)導(dǎo)出a_n+1=2a_n-n²+3n．存在λ=-1，μ=1使得數(shù)列{an+λn²+μn}是等比數(shù)列．
（2）an=2^n-1+n²-n，，當(dāng)n≥3時(shí)，由得S=b₁+b₂+b₃+…+b_n＞，由此能夠?qū)С霎?dāng)n≥2時(shí)，＜Sn＜．
解答：（1）解：設(shè)a_n+1=2a_n-n²+3n，
可化為a_n+1+λ（n+1）²+μ（n+1）=2（a_n-λn²+μn），
即a_n+1=2a_n-λn²+（μ-2λ）n-λ-μ（2分）
故  解得（4分）
∴a_n+1=2a_n-n²+3n
可化為（5分）
又a₁+1²+1≠0（6分）
故存在λ=-1，μ=1  使得數(shù)列{an+λn²+μn}是等比數(shù)列（7分）

（2）證明：由（1）得an-n²+n=（a₁-1²+1）•2^n-1
∴an=2^n-1+n²-n，
故（8分）
∵（9分）
∴n≥2時(shí)，S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n＜1

=（11分）
現(xiàn)證（n≥2）．
當(dāng)n=2時(shí)  S_n=b₁+b₂=
而，，
故n=2時(shí)不等式成立（12分）
當(dāng)n≥3時(shí)，由得
S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n＞
=1-，且由2n+1＞6   得1＞，
∴（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意計(jì)算能力的培養(yǎng)．