Question

已知直線恰好經(jīng)過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，且點(diǎn)M（1，t），（t＞0）在該橢圓上．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線l：x-2y+m=0與該橢圓相交于不同兩點(diǎn)A，B，證明：直線MA，MB的傾斜角互補(bǔ)．

Answer 1

解：（1）由題意得，，解得a=2，b=．
∴要求的橢圓方程為．
（2）∵點(diǎn)M（1，t），（t＞0）在該橢圓上，∴，解得t=，∴M．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），又直線l經(jīng)過(guò)A、B，
則k_MA==，k_MB==．
聯(lián)立，消去y化為4x²+2mx+m²-12=0，
由于直線l與橢圓相較于A、B兩點(diǎn)，∴△=4m²-16（m²-12）＞0，化為m²＜16，解得-4＜m＜4．
由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，．
∴k_MA+k_MB=
===0．
∴k_MA+k_MB=0號(hào)，
故直線MA、MB的傾斜角互補(bǔ)．
分析：（1）利用橢圓的定義即可求出；
（2）直線MA，MB的傾斜角互補(bǔ)?k_MA+k_MB=0，將直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可證明．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓的定義及把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與橢圓的相交問(wèn)題的根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．