Question

已知函數(shù)f（x）=2sinx（sinx+cosx）-1．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期
（2）當(dāng)x∈[0，

π

6

]時(shí)，求函數(shù)的最小值；
（3）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）首先整理函數(shù)的式子，進(jìn)行三角函數(shù)式的恒等變換，先相乘，再用二倍角公式進(jìn)行降冪，再利用輔角公式寫出最簡結(jié)果，用周期公式做出周期．
（2）先求出求出2x-

π

4

的范圍，進(jìn)而得到sin（2x-

π

4

）的范圍，從而得到函數(shù)f（x）的 范圍，從而求得函數(shù)f（x）的最小值．
（3）根據(jù)正弦曲線的遞增區(qū)間，寫出使得函數(shù)的角在這一個(gè)區(qū)間上，解出其中的x的值，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）y=2sinx（sinx+cosx）-1=2sin²x+2sinxcosx-1
=sin2x-cos2x
=

2

sin（2x-

π

4

））
∴最小正周期為π
（2）∵x∈[0，

π

6

]
∴2x-

π

4

∈[-

π

4

，

π

12

]
∴當(dāng)2x-

π

4

=-

π

4

，即x=0時(shí)，f（x）min=-

2

2

．
（3）根據(jù)正弦曲線的遞增區(qū)間知當(dāng)2x-

π

4

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]
即x∈[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]
∴函數(shù)的遞增區(qū)間是[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，（k∈z）．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的變換和三角函數(shù)的性質(zhì)，這是一個(gè)非常適合作為高考題目的題，這種題目注意三角恒等變換時(shí)不要出錯(cuò)，不然后面的運(yùn)算都會出錯(cuò)．