Question

已知△ABC,A∈α,BC∥α,BC=6,∠BAC=90°,AB、AC與α所成的角分別為30°、45°,求BC到α的距離.

Answer 1

解析:AB、AC都用BC到α的距離d表示.結(jié)合∠BAC=90°,列出d的方程求d.

解:過(guò)B作BB′⊥α于B′,過(guò)C作CC′⊥α于C′,

連結(jié)AB′、AC′.

設(shè)BC到α的距離為d,

則BB′=CC′=d,

并且∠BAB′為AB與α所成的角,∠CAC′為AC與α所成的角.

由題意知∠BAB′=30°,∠CAC′=45°,

∵△ABB′和△ACC′都是直角三角形,

∴AB=2BB′=2d,AC=CC′=d.

∵△ABC是以∠BAC為直角的直角三角形,

∴BC²=AB²+AC².

∴6²=4d²+2d².

∴d=1,

即BC到α的距離為1.

小結(jié):斜線與平面所成的角,就是斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的角,因此作斜線與平面所成的角關(guān)鍵是作出斜線在平面內(nèi)的射影.由于斜線與平面所成角可以是一個(gè)直角三角形的內(nèi)角,所以斜線與平面所成角的問(wèn)題常通過(guò)解直角三角形解決.