Question

當(dāng)a為何值時，方程x³-3x²-a=0恰有一個實(shí)根、兩個不等實(shí)根、三個不等實(shí)根或者有沒有可能無實(shí)根？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專題：計算題,數(shù)形結(jié)合,分類討論,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：令函數(shù)f（x）=x³-3x²，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間，進(jìn)而得到極值，再作出直線y=a和y=x³-3x²，通過觀察直線和曲線分別有0個交點(diǎn)、1個交點(diǎn)、2個交點(diǎn)和3個交點(diǎn)的情況即可．

解答： 解：令函數(shù)f（x）=x³-3x²，則導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=3x²-6x，
由f′（x）＞0，解得，x＞2或x＜0，f（x）遞增；
由f′（x）＜0，解得，0＜x＜2，f（x）遞減．
則有f（x）在x=0處取得極大值，且為0，
f（x）在x=2處取得極小值，且為-4．
方程x³-3x²-a=0，即有a=x³-3x²，
作出直線y=a和y=x³-3x²，
由于y=x³-3x²在（2，+∞），（-∞，0）內(nèi)遞增，
在（0，2）內(nèi)遞減，
則y=x³-3x²在x=0處取得極大值，且為0，
在x=2處取得極小值，且為-4．
通過圖象觀察，可得，當(dāng)a＞0或a＜-4時，有1個交點(diǎn)，即f（x）有1個零點(diǎn)；
當(dāng)a=0或-4，有2個交點(diǎn)，即f（x）有2個零點(diǎn)；
當(dāng)-4＜a＜0，有3個交點(diǎn)，即f（x）有3個零點(diǎn)，
則不可能沒有零點(diǎn)．
綜上可得，當(dāng)a＞0或a＜-4時，方程恰有一個實(shí)根；
當(dāng)a=0或-4時，方程有兩個不相等的實(shí)根；
當(dāng)-4＜a＜0時，方程有3個實(shí)根；
不管a為何值，方程均有實(shí)根，不可能沒有實(shí)根．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值，考查函數(shù)的零點(diǎn)的求法，注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．