Question

【題目】如圖，點(diǎn)P在正方體ABCD﹣A1B1C1D1的面對角線BC1上運(yùn)動(dòng)，則下列四個(gè)結(jié)論：
①三棱錐A﹣D1PC的體積不變；
②A1P∥平面ACD1；
③DP⊥BC1；
④平面PDB1⊥平面ACD1 ．
其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）

A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)

Answer 1

【答案】C
【解析】解：對于①，由題意知AD1∥BC1 ， 從而BC1∥平面AD1C，
故BC1上任意一點(diǎn)到平面AD1C的距離均相等，
所以以P為頂點(diǎn)，平面AD1C為底面，則三棱錐A﹣D1PC的體積不變，故①正確；
對于②，連接A1B，A1C1 ， A1C1∥AD1且相等，由于①知：AD1∥BC1 ，
所以BA1C1∥面ACD1 ， 從而由線面平行的定義可得，故②正確；
對于③，由于DC⊥平面BCB1C1 ， 所以DC⊥BC1 ，
若DP⊥BC1 ， 則BC1⊥平面DCP，
BC1⊥PC，則P為中點(diǎn)，與P為動(dòng)點(diǎn)矛盾，故③錯(cuò)誤；
對于④，連接DB1 ， 由DB1⊥AC且DB1⊥AD1 ，
可得DB1⊥面ACD1 ， 從而由面面垂直的判定知，故④正確．
故選：C．

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解命題的真假判斷與應(yīng)用的相關(guān)知識，掌握兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系，以及對棱柱的結(jié)構(gòu)特征的理解，了解兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形．